2.1.2. Функции от случайных величин

Проблему, которая часто возникает в практических приложениях теории вероятности, можно сформулировать так. Дана случайная величина , которая характеризуется своей ФПВ , и надо найти ФПВ случайной величины , где - некоторая заданная функция от . Если преобразование от к взаимно однозначное, определить относительно просто. Однако, если преобразование не является взаимно однозначным, как в случае, например, когда , мы должны быть более внимательны в определении .

Пример 2.1.1. Рассмотрим случайную величину , определённую как

, (2.1.39)

где и - константы. Мы предположим, что . Если , подход тот же (см. задачу 2.3). Заметим, что это преобразование, иллюстрируемое рис. 2.1.4, (a), является линейным и монотонным.

Рис. 2.1.4 Линейное преобразование случайной переменной и пример соответствующих ФПВ для и

Пусть и определяют ИФР для и соответственно. Тогда

. (2.1.40)

Дифференцируя (2.1.40) по , получаем зависимость между соответствующими ФПВ

. (2.1.41)

Таким образом, (2.1.40) и (2.1.41) определяют ИФР и ФПВ случайной величины через ИФР и ФПВ случайной величины для линейного преобразования (2.1.39). Чтобы проиллюстрировать это преобразование для определённой ФПВ , рассмотрим пример распределения на рис. 2.1.4, (b). Полученная ФПВ для преобразования (2.1.39) показана на рис. 2.1.4, (c).

Пример 2.1.2. Рассмотрим случайную величину , определённую как

. (2.1.42)

Как в примере (2.1.1), преобразование и взаимно однозначно, следовательно,

. (2.1.43)

Дифференцирование (2.1.43) по даёт соотношение между двумя ФПВ

. (2.1.44)

Пример 2.1.3. Случайная величина определена как

. (2.1.45)

В отличие от примеров (2.1.1) и (2.1.2), связь между и , иллюстрируемая рис. 2.1.5, теперь не взаимно однозначная. Чтобы найти ИФР для , заметим, что

Следовательно,

. (2.1.46)

Рис. 2.1.5. Квадратичное преобразование случайной переменной

Дифференцируя (2.1.46) по , мы получим ФВП через ФВП в виде

(2.1.47)

Для примера (2.1.3) мы замечаем, что уравнение имеет два вещественных решения:

, ,

и что содержит два слагаемых, соответствующих этим двум решениям:

, (2.1.48)

где означает первую производную от по .

В общем случае предположим, что являются вещественными корнями уравнения . Тогда ФПВ для случайной величины можно выразить так

, (2.1.49)

где корни , являются функциями от .

Теперь рассмотрим функции от многомерных случайных величин. Предположим, что , , являются случайными величинами с СФПВ и что , - другой ряд случайных величин, связанных с функциями

, . (2.1.50)

Считаем, что , , являются однозначными обратимыми функциями с непрерывными частными производными. Под «обратимыми» мы понимаем то, что , , можно выразить как функцию от , , в форме

, , (2.1.51)

причём обратный функции также считаются однозначными с непрерывными частными производными. Задача сводится к определению СФПВ , , т.е. , через заданную СФПВ .

Чтобы найти нужное соотношение, положим, что означает область в -мерном пространстве случайных переменных , , и что является областью взаимно однозначного отображения в, определённой функциями .

Очевидно, что

. (2.1.52)

Путем замены переменных в многомерном интервале в правой части (2.1.52) по формулам

получаем

, (2.1.53)

где - якобиан преобразования, равный определителю

. (2.1.54)

Следовательно, искомое соотношение для СФПВ всех , ,

. (2.1.55)

Пример 2.1.4. Важное функциональное соотношение между двумя рядами -мерных случайных величин, которое часто встречается на практике, -линейное преобразование

, , (2.1.56)