Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


2.1.3. Статистическое усреднение случайных величин

Усреднение играет важную роль для характеристики результатов эксперимента и случайных величин, определенных на выборочном пространстве эксперимента. В частности, представляют интерес первый и второй моменты одной случайной величины и совместные моменты, такие как корреляция и ковариация между парой случайных величин в многомерном ряде случайных величин. Также большой интерес представляет характеристическая функция случайной величины и совместные характеристические функции для многомерного ряда случайных величин. Этот раздел посвящается определению этих важных статистических средних.

Сначала мы рассмотрим случайную величину , характеризуемую ФПВ . Математическое ожидание от  определяется как

,                            (2.1.61)

где  означает математическое ожидание (статистическое усреднение). Это первый момент случайной величины . В общем, -й момент определяется как

.                     (2.1.62)

Теперь предположим, что мы определяем случайную величину , где  - некоторая произвольная функция от случайной величины . Математическое ожидание  определяется как

.              (2.1.63)

В частности, если , где  - математическое ожидание , то

.                      (2.1.64)

Это математическое ожидание названо -м центральным моментом случайной величины , так как это момент, взяты относительно среднего. Если , центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается . Таким образом,

.                           (2.1.65)

Этот параметр является мерой рассеяния случайной величины . Раскрывая выражение  в интеграле (2.1.65) и учитывая, что математическое ожидание от константы равно константе, получим выражение, которое определяет дисперсию через первый и второй моменты:

.        (2.1.66)

Для случая двух случайный величин  и  с СФПВ  мы определяем совместный момент как

.     (2.1.67)

и совместный центр момент как

  (2.1.68)

где . С точки зрения приложений важное значение имеет совместный момент и совместный центральный момент, когда . Эти совместные моменты называют корреляцией и ковариацией случайных величин  и .

При рассмотрении многомерных случайных величин мы можем определять совместные моменты произвольного порядка. Однако наиболее полезные для практических приложений моменты – это корреляция и ковариации между парами случайных величин. Для детализации предположим, что , являются случайными величинами с СФПВ . Пусть  - СФВП случайных величин  и . Тогда корреляция между  и  определяется совместным моментом

,                   (2.1.69)

а ковариация между  и  равна

  (2.1.70)

Матрица размера  с элементами  называется ковариационной матрицей случайных величин , . Мы встретимся с ковариационной матрицей при обсуждении совместных гауссовских случайных величин в разделе 2.1.4.

Две случайные величины называют некоррелированными, если . В этом случае их ковариация . Заметим, что если  и  некоррелированы, они не обязательно статистически независимы.

Говорят, что две случайные величины ортогональны, если . Заметим что это условие имеет место, когда  и  не коррелированы и либо одна, либо обе случайные величины имеют нулевое среднее.

Характеристические функции. Характеристическая функция случайной величины  определяется как статистическое среднее

,                           (2.1.71)

где переменная  вещественная, . Заметим, что  можно определить как преобразование Фурье от ФПВ . Тогда обратное преобразование Фурье дает

.                                    (2.1.72)

Очень полезное свойство характеристической функции – ее связь с моментами случайной величины. Заметим, что первая производная от (2.1.71) по

.

Вычисляя производную при , получаем для первого момента (среднего)

.                                    (2.1.73)

Дифференцирование можно продолжить, и -я производная от  при  определяет -й момент:

.                                     (2.1.74)

Таким образом, моменты случайный величин можно определять через характеристические функции. С другой стороны, предположим, что характеристическую можно представить рядом Тейлора относительно точки , т.е.

.                                              (2.1.75)

Используя соотношение (2.1.74) в (2.1.75), мы получаем выражение для характеристической функции через моменты в виде

                                          (2.1.76)

Характеристическая функция дает простой метод для определения ФПВ суммы независимых случайных величин. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что , , - ряд статистически независимых случайных величин, и пусть

.                                                                (2.1.77)

Задача сводится к нахождению ФПВ от . Мы определим ФПВ от , найдя сначала её характеристическую функцию, а затем вычислив обратное преобразование Фурье. Итак,

.   (2.1.78)

Так как случайные величины статистически неизменимы,  и -мерный интеграл в (2.1.78) сводится к произведению  простых интегралов, каждый из которых определяет характеристическую функцию одного . Следовательно,

.                                                          (2.1.79)

Если помимо статистической независимости все  имеют одинаковое распределение, тогда все  идентичны.

Соответственно

.                                                          (2.1.80)

Окончательно ФПВ  определяется обратным преобразованием Фурье, как дано в (2.1.72).

Поскольку характеристическая функция суммы  статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций индивидуальных случайных переменных , , отсюда следует, что в области преобразования ФПВ  является -кратной сверткой ФПВ от . Обычно -кратную свёртку выполнить непосредственно более сложно, чем воспользоваться методом характеристической функции для нахождения распределения ФПВ для , как описано выше.

Если мы имеем дело с -мерными случайными величинами, необходимо определить -мерные преобразования Фурье от СФПВ. В частности, если , , - случайные величины с ФПВ , -мерная характеристическая функция определяется как

.    (2.1.81)

Специальный интерес представляет двухмерная характеристическая функция

.              (2.1.82)

Заметим, что частные производные от  по  и  можно использовать для получения совместных моментов. Например, легко видеть, что

.                          (2.1.83)

Моменты более высоких порядков можно получить аналогичным образом.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>