2.1.4. Некоторые часто используемые распределения

В последующих главах мы встретим несколько различных типов случайных величин. В этом разделе мы перечислим эти новые часто встречающиеся случайные величины, их ФПВ, ПФР и моменты. Мы начнём с биномиального распределения, которое является распределением дискретной случайной величины, а затем представим распределение некоторых непрерывных случайных величин.

Биномиальное распределение. Пусть - дискретная случайная величина, которая принимает два возможных значения, например или , с вероятностью и соответственно. Соответствующая ФПВ для показана на рис. 2.1.6.

Рис. 2.1.6. Функция распределения вероятностей

Теперь предположим, что

где , , - статистически независимые и идентично распределенные случайные величины с ФПВ, показанной на рис. 2.1.6. Какова функция распределения ?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что изначально - это ряд целых чисел от 0 до . Вероятность того, что , просто равна вероятности того, что все . Так как статистически независимы, то

Вероятность того, что , равна вероятности того, что одно слагаемое , а остальные равны нулю. Так как это событие может возникнуть различными путями,

Далее, вероятность того, что , равна вероятности того, что значений , а равна нулю. Так как теперь имеется

(2.1.84)

различных комбинаций, которые приводят к результату , получаем

, (2.1.85)

где - биномиальный коэффициент. Следовательно, ФПВ можно выразить как

. (2.1.86)

ИФР для

, (2.1.87)

где означает наибольшее целое число , такое, что .

ИФР (2.1.87) характеризует биномиальное распределение случайной величины.

Первые два момента равны

, (2.1.88)

а характеристическая функция

. (2.1.89)

Равномерное распределение. ФПВ и ИФР равномерно распределенной случайной величины показан на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7. Графики ФПВ и ИФР для равномерно распределенной случайной величины

Первые два момента равны

, (2.1.90)

а характеристическая функция равна

(2.1.91)

Гауссовское распределение. ФПВ гауссовской или нормально распределенной случайной величины определяется формулой

, (2.1.92)

где - математическое ожидание, а - дисперсия случайной величины. ИФР равна

(2.1.93)

где - функция ошибок, которая определяется выражением

. (2.1.94)

ФПВ и ПФР иллюстрируется на рис. 2.1.8.

Рис. 2.1.8. Графики ФПВ (а) и ИФР (b) гауссовской случайной величины

ИФР можно также выразить через дополнительную функцию ошибок, т.е.

где

. (2.1.95)

Заметим, что , , и . Для дополнительная функция ошибок пропорциональна площади под частью гауссовской ФПВ. Для больших значений дополнительная функция ошибок может быть аппроксимирована рядом

, (2.1.96)

причем ошибка аппроксимации меньше, чем последнее удерживаемое слагаемое.

Функция, которая обычно используется для площади под частью гауссовской ФПВ, обозначается через и определяется как

, . (2.1.97)

Сравнивая (2.1.95) и (2.1.97), находим

. (2.1.98)

Характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним и дисперсией равна

. (2.1.99)

Центральные моменты гауссовской случайной величины равны

(2.1.100)

а обычные моменты можно выразить через центральные моменты

. (2.1.101)

Сумма статически независимых гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим

, (2.1.102)

где , - независимые случайные величины со средним и дисперсиями . Используя результат (2.1.79), мы находим, что характеристическая функция равна

, (2.1.103)

где

; . (2.1.104)

Следовательно, является гауссовской случайной величиной со средним и дисперсией .

Хи-квадрат-распределение. Случайная величина с хи-квадрат-распределением порождается гауссовской случайной величиной, в том смысле, что ее формирование можно рассматривать как преобразование последней. Для конкретности, пусть , где - гауссовская случайная величина. Тогда имеет хи-квадрат-распределение. Мы различаем два вида хи-квадрат распределения. Первое называется центральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда имеет нулевое среднее значение. Второе называется нецентральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда имеет ненулевое среднее значение.

Сначала рассмотрим центральное хи-квадрат-распределение. Пусть - гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией . Поскольку , результат даётся функцией (2.1.47) с параметрами и . Таким образом, получаем ФПВ в виде

, . (2.1.105)

ИФР для

, (2.1.106)

которое не может быть выражено в замкнутом виде. Характеристическая функция, однако, может быть выражена в замкнутой форме:

. (2.1.107)

Теперь предположим, что случайная величина определяется как

, (2.1.108)

где , , - статистически независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией . Вследствие статистической независимости характеристическая функция

. (2.1.109)

Обратное преобразование этой характеристической функции дает ФПВ

, , (2.1.110)

где - гамма-функция, определённая как

, -целое число, , (2.1.111)

, .

Эта ФПВ является обобщением (2.1.105) и названа хи-квадрат- (или гамма-) ФПВ с степенями свободы. Она иллюстрируется рис. 2.1.9.

Случай, когда равны

Первые два момента равны

, (2.1.112)

ИФР равна

, (2.1.113)

Рис. 2.1.9 Графики ФПВ для случайной величины с хи-квадрат-распределением для нескольких значений степеней свободы

Этот интеграл преобразуется к неполной гамма-функции, которая была табулирована Пирсоном (1965).

Если четно, интеграл (2.11.113) можно выразить в замкнутом виде.

В частности, пусть , где - целое. Тогда, используя повторно интегрирование по частям, получаем

, . (2.1.114)

Теперь рассмотрим нецентральное хи-квадрат-распределение, которое является результатом возведения в квадрат гауссовской случайной величины с ненулевым средним. Если - гауссовская случайная величина со средним и дисперсией , случайная величина имеет ФПВ

, (2.1.115)

Этот результат получается при использовании (2.1.47) для гауссовской ФПВ с распределением (2.1.92). Характеристическая функция для ФПВ

. (2.1.116)

Для обобщения результатов предположим, что является суммой квадратов гауссовских случайных величин, определенных (2.1.108). Все , , предполагаются статистически независимыми со средними , , и одинаковыми дисперсиями . Тогда характеристическая функция, получаемая из (2.1.116), при использовании соотношения (2.1.79) равна

. (2.1.117)

Обратное преобразование Фурье от этой характеристической функции даёт ФПВ

, , (2.1.118)

где введено обозначение

, (2.1.119)

а - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка , которую можно представить бесконечным рядом

, . (2.1.120)

ФПВ, определяемая (2.1.118), называется нецентральным хи-квадрат-распределение с степенимя свободы. Параметр назван параметром нецентральности распределения. ИФР для нецентрального хи-квадрат-распределения с степенями свобода

. (2.1.121)

Этот интеграл не выражается в замкнутой форме. Однако, если - целое чмсло, ИФР можно выразить через обобщенную -функцию Маркума, которая определяется как

, (2.1.122)

где

, (2.1.123)

Если заменить переменную интегрирования в (1.2.121) на , причём , и положить, что , тогда можно легко найти

. (2.1.124)

В заключение заметим, что первые два момента для центрального хи-квадрат распеделения случайных величин равны

, (2.1.125)

Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как модель для статистических сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределение тесно связано с центральных хи-квадрат-распределением. Чтобы это проиллюстрировать, положим, что , где и - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними одинаковой дисперсией . Из изложенного выше следует, что имеет хи-квадрат-распределение с двумя степенями свободы. Следовательно, ФПВ для

, . (2.1.126)

Теперь предположим, что мы определяем новую случайную величину

. (2.1.127)

Выполнив простые преобразования в (2.1.126), получим для ФПВ

, . (2.1.128)

Это ФПВ для релеевской случайной величины. Соответствующая ИФР равна

, . (2.1.129)

Моменты от равны

, (2.1.130)

а дисперсия

. (2.1.131)

Характеристическая функция для распределённой по Релею случайной величины

. (2.1.132)

Этот интеграл можно выразить так:

, (2.1.133)

где - это вырожденная гипергеометрическая функция, определяемая как

, … (2.1.134)

Боули (1990) показал, что можно выразить как

. (2.1.135)

Как обобщение полученных выше выражений рассмотрим случайную величину

, (2.1.136)

где , , статистически независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым средним. Ясно, что имеет хи-квадрат-распределение с степенями свободы. Его ФПВ задаётся формулой (2.1.100). Простые преобразования переменной в (2.1.110) приводят к ФПВ для в виде

, . (2.1.137)

Как следствие фундаментальной зависимости между центральным хи-квадрат-распределением и релеевским распределением, соответствующая ИФР достаточно простая. Так, для любого ИФР для можно представить в форме неполной гамма-функции. В специальном случае, когда чётко, т.е. когда , ИФР для может быть представлено в замкнутой форме

, . (2.1.138)

В заключении приведём формулу для -го момента

, , (2.1.139)

справедливую для любого .

Распределение Райса. В то время как распределение Релея связано с центральным хи-квадрат-распределением, распределение Райса связано с нецентральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрировать эту связь, положим , где и - статистически независимые гауссовские случайные величины со средним , и одинаковой дисперсией . Из предыдущего рассмотрения мы знаем, что имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с параметром отклонения . ФПВ для получаем из (2.1.118), а при находим

, . (2.1.140)

Теперь введём новую переменную .

ФПВ для получается из (2.1.140) путём замены переменной

, . (2.1.141)

Функция (2.1.141) называется распределением Райса.

Как будет показано в гл. 5, эта ФПВ характеризует статистику огибающей гармонического сигнала подверженному воздействию узкополосного гауссовского шума. Она также используется для статистики сигнала, перееденного через некоторые радиоканалы. ИФР для легко найти из (2.1.124) для случая, когда . Это даёт

, , (2.1.142)

где определяется (2.1.123).

Для обобщения приведённого выше результата пусть определяется (2.1.136), где , - статистически независимые случайные величины со средним , и одинаковыми дисперсиями . Случайная величина имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с -степенями свободы нецентральным параметром , определяемое (2.1.119). Еe ФПВ определяется (2.1.118), следовательно, ФПВ для равна

, , (2.1.143)

а соответствующая ИФР

, (2.1.144)

где определяется (2.1.121). В частном случае, когда - целое число, имеем

, , (2.1.145)

которое следует из (2.1.124). В заключении отметим, что -й момент от

, , (2.1.146)

где - вырожденная гипергеометрическая функция.

-распределение Накагами. И распределение Релея, и распределение Райса часто используется для описания статистики флуктуаций сигнала на выходе многопутевого канала с замираниями. Эта модель канала рассматривается в гл. 14. Другое распределение, часто используется для характеристики статистических сигналов, передаваемых через многопутевые каналы с замираниями - это -распределение Накагами. ФПВ для этого распределения дано Накагами (1960)

, , (2.1.147)

где определяется как

, (2.1.148)

а параметр определяется как отношение моментов и назван параметром замираний:

, . (2.1.149)

Нормализованную версию для (2.1.147) можно получить путём введения другой случайной величины (см. задачу 2.15). -й момент от равен

При можно видеть, что (2.1.147) приводит к распределению Релея. При значениях удовлетворяющих условию , получаем ФПВ, которая имеет более протяжённые хвосты, чем при распределении Релея. При значениях хвосты ФПВ распределения Накагами убывают быстрее, чем для распределения Релея. Рисунок 2.1.10 иллюстрирует ФПВ для различных значений .

Многомерное гауссовское распределение. Из многих многопараметрических или многомерных распределений, которые могут быть определены, многопараметрическое распределение Гаусса наиболее важное и наиболее часто используется на практике. Введём это распределение и рассмотрим его основные свойства.

Предположим, что , являются гауссовскими случайными величинами со средними , , дисперсиями , и ковариациями , . Ясно, что , . Пусть - это матрица ковариаций размерности с элементами . Пусть определяет вектор-столбец случайных величин и пусть означает вектор-столбец средних значений , . Совместная ФПВ гауссовских случайных величин , , определяется так

(2.1.150)

где - матрица, обратная , и означает транспонирование .

Характеристическая функция, соответствующая этой -мерной совместной ФПВ

где - -мерный вектор с элементами , .

Вычисление этого -мерного преобразования Фурье даёт результат

. (2.1.151)

Важнейший частный случай (2.1.150) – это бипараметрическая или двумерная гауссовская ФПВ. Вектор средних и ковариационная матрица для этого случая

, . (2.1.152)

где совместный центральный момент определяется так:

Удобно ввести нормированный коэффициент ковариации

, , (2.1.153)

где удовлетворяет условию . В двумерном случае обычно опускают индексы в и , тогда ковариационная матрица выражается в виде

. (2.1.154)

Обратная матрица

, (2.1.155)

и .

Подставляя выражение в (2.1.150), получаем для двухмерной ФПВ гауссовских случайных величин

. (2.1.156)

Заметим, что если , СФПВ в (2.1.156) превращается в произведение , где , , - собственные ФПВ. Поскольку является мерой корреляции между и , то видим, что если гауссовские случайные величины не коррелированны, они также статистически независимы.

Рис. 2.1.10. Графики ФПВ для -распределения при , - параметр замираний.

Это важное свойство гауссовских случайных величин, которое, вообще говоря, не выполняется для других распределений. Оно распространяется на -мерные гауссовские случайные величины непосредственно. Это означает, что если при , то случайные величины , являются некоррелированными и, следовательно, статистически независимыми.

Теперь рассмотрим линейные преобразования гауссовских случайных величин , , с вектором средних и ковариационной матрицей .

Пусть

, (2.1.157)

где - невырожденная матрица. Как показано раньше, якобиан этого преобразования . Подставляя в (2.1.150), получим СФПВ для в виде

(2.1.158)

где вектор и матрица определяются так

. (2.1.159)

Таким образом, мы показали, что линейное преобразование ряда совместно гауссовских случайных величин приведёт к другому ряду также совместно гауссовских величин.

Предположим, что мы хотим с помощью линейных преобразований перейти к статистически независимым случайным величинам. Как выбрать в этом случае матрицу ? Из предыдущего обсуждения мы знаем, что гауссовские случайные величины статистически независимы, если они попарно коррелированы, т.е. если ковариационная матрица является диагональной. Следовательно, мы должны потребовать

, (2.1.160)

где - диагональная матрица. Матрица - это ковариационная матрица, следовательно, она положительно определённая. Одно решение (2.1.160) сводится к выбору ортогональной матрицы , состоящей из столбцов, которые являются собственными векторами ковариационной матрицы .

Пример 2.1.5. Рассмотрим двухмерную гауссовскую ФПВ с ковариационной матрицей

Определим преобразование , которое приводит к некоррелированным случайным величинам. Сначала решим задачу о собственных значениях . Характеристическое уравнение, которое их определяет,

Далее мы определим два собственных вектора. Если означает собственный вектор, имеем уравнение

При и мы получаем собственные векторы

, .

Следовательно,

Легко показать, что и , где диагональные элементы равны и .