2.1.5. Верхняя граница для вероятностей «хвостов»

При определении характеристик систем цифровой связи часто необходимо определить площадь, ограниченную хвостами ФПВ. Мы назовём эту площадь вероятностью хвостов. В этом разделе мы представим две верхние границы для вероятности хвостов.

Первая, полученная из неравенства Чебышева, до некоторой степени грубая. Вторая, называемая границей Чебышева, более плотная.

Неравенство Чебышева. Допустим, что - произвольная случайная величина с ограниченным средним значением и ограниченной дисперсией . Для произвольного положительного числа

. (2.1.161)

Это соотношение называется неравенством Чебышева. Доказательство этой границы относительно простое. Имеем

Таким образом, справедливость неравенства установлена.

Очевидно, что неравенство Чебышева непосредственно даёт верхнюю границу площади, ограниченной хвостами ФПВ , где , т.е. для площади под в интервале и . Следовательно, неравенство Чебышева можно выразить в виде

(2.1.162)

или эквивалентным образом:

. (2.1.163)

На границу Чебышева можно посмотреть с другой точки зрения. Используя случайную величину с нулевым средним , для удобства определим функцию в виде

(2.1.164)

Поскольку функция равна 0 или 1 с вероятностью соответственно и , её среднее значение

(2.1.165)

Теперь предположим, что мы используем для верхнюю квадратичную границу, т.е.

. (2.1.166)

График для и верхняя показаны на рис. 2.1.11. Из графиков следует, что

Так как является вероятностью хвоста, как это следует из (2.1.165), мы получили границу Чебышева.

Рис. 2.1.11. Квадратичная верхняя граница для , используемая для получения вероятности хвостов (граница Чебышева)

Для многих практических приложений эта чебышевская граница чрезмерно груба. Это можно объяснить неточностью квадратичной функции как верхней границы . Имеется много других функций, которые можно использовать в качестве верхней границы . В частности, граница Чернова часто оказывается более плотной.

Граница Чернова. Чебышевская граница, данная выше, включает площадь, ограниченную обоими хвостами ФПВ. В некоторых приложениях мы интересуемся лишь площадью, ограниченной одним хвостом: либо в интервале , либо в интервале . В таком случае мы можем получить весьма плотную верхнюю границу путем огибания функции посредством экспоненты с параметром, который может оптимизировать верхнюю границу так плотно, насколько это возможно. Конкретно мы рассмотрим вероятность хвоста в интервале . Введем огибающую для из соотношения

, (2.1.167)

где теперь определена как

(2.1.168)

а - параметр, который следует оптимизировать.

Графики для и экспоненциальной верхней границы даны на рис. 2.1.12.

Математическое ожидание равно

. (2.1.169)

Эта граница справедлива для любых .

Наиболее плотную верхнюю границу получить путем выбора значений, которые минимизируют .

Необходимо условие минимизации

. (2.1.170)

Рис. 2.1.12. Экспоненциальная верхняя граница для , используемая для получения вероятности хвоста (граница Чернова)

Но можно изменить порядок дифференцирования и вычисление математического ожидания так, что

Следовательно, величина , которая обеспечивает плотную верхнюю границу определяется решением уравнения

. (2.1.171)

Пусть является решением (2.1.171). Тогда из (2.1.169) следует, что верхняя граница для вероятности одного хвоста определяется так:

, (2.1.172)

Это – граница Чернова для вероятности хвоста дискретной или непрерывной случайной величины с нулевым средним. Эту границу можно использовать, чтобы показать, что , где - площадь, определяющая вероятность хвоста гауссовской ФПВ (см. задачу 2.18).

Верхнюю границу для вероятности нижнего хвоста можно получить аналогичным путем:

, (2.1.173)

где - решение (2.1.171) и .

Пример 2.1.6. Рассмотрим ФПВ Лапласа

, (2.1.174)

которая проиллюстрирована на рис. 2.1.13.

Вычислим вероятность правого хвоста из границы Чернова и сравним его с действительной вероятностью хвоста, которая равна

. (2.1.175)

Рис. 2.1.13. График ФПВ для случайной величины, распределенной по Лапласу

Чтобы найти из решения (2.1.171), мы должны определить моменты . Для ФПВ (2.1.174) находим

. (2.1.176)

Подставив эти моменты в (2.1.171), получим квадратное уравнение

которое имеет решение

. (2.1.177)

Так как должно быть положительной величиной, один из двух корней исключается. Таким образом,

. (2.1.178)

В заключении вычислим верхнюю границу в (2.1.172), ограничиваясь , используя второе решение в (2.1.176) и подставляя для решение (2.1.178). Результат равен

. (2.1.179)

Для из (2.1.179) следует

. (2.1.180)

Заметим, что граница Чернова уменьшается экспоненциальную с ростом . Следовательно, она тесно аппроксимирует действительную вероятность хвоста, определяемую (2.1.175). Напротив, чебышевская верхняя граница для вероятности верхнего хвоста, полученная как половина вероятности двух хвостов (вследствие симметрии ФПВ), равна