10.1.2. Модель канала с МСИ с дискретным временем
При рассмотрении ограниченных по полосе каналов с МСИ удобно разработать эквивалентную модель с дискретным временем для аналоговой (с непрерывным временем) системы. Поскольку передатчик посылает символы в дискретные моменты времени со скоростью
символов в секунду, а стробированный выход согласованного фильтра приемника также является сигналом дискретного времени с отчетами, возникающими со скоростью
, то следует, что каскадное соединение аналогового фильтра передатчика с импульсной характеристикой
, канала с импульсной характеристикой
, согласованного фильтра в приемнике с импульсной характеристикой
и стробирующего устройства можно представить эквивалентным трансверсальным фильтром с дискретным временем, имеющий набор коэффициентов усиления
. Следовательно, мы имеем эквивалентный трансверсальный фильтр с дискретным временем, который покрывает временной интервал
секунд. Его входом является информационная последовательность символов
, а его выходом является последовательность с дискретным временем
, определяемая (10.1.10). Эквивалентная модель с дискретным временем дана на рис.10.1.2.

Рис. 10.1.2. Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ
Основная трудность при использовании этой модели с дискретным временем возникает при оценивании качества различной техники выравнивания или техники оценивания, что обсуждается в следующих разделах. Трудности обусловлены корреляцией отсчетов шумовой последовательности
на выходе согласованного фильтра. Ряд шумовых величин
образуют последовательность с гауссовским распределением, с нулевым средним и автокорреляционной функцией (смотри задачу 10.5)
. (10.1.13)
Таким образом, шумовая последовательность коррелирована, если не выполняется условие
. Поскольку более удобно иметь дело при расчёте такой характеристики качества как вероятность ошибки с белой шумовой последовательностью, то желательно обелить шумовую последовательность путём дальнейшей фильтрации последовательности
.
Обеляющий фильтр с дискретным временем определяется следующим образом:
Пусть
обозначает (двухстороннее)
-преобразование отсчетов автокорреляционной функции
, т.е.
. (10.1.14)
Поскольку
, следует
и
корней
имеют симметрию, так что, если
корень, то
тоже корень. Следовательно,
можно факторизовать и выразить так
, (10.1.15)
где
- полином степени
, имеющий корни
, a
- полином степени
, имеющий корни
. Подходящий обеляющий фильтр имеет
-преобразование
. Поскольку имеется
возможных способов выбора корней
, а каждый выбор ведет к фильтру, который одинаков по амплитудной характеристике и различен по фазе по сравнению с другими выборами, то мы предлагаем выбрать уникальное
, имеющее минимальную фазу, т.е. полином, имеющий все свои корни внутри единичного круга. Тогда все корни
лежат внутри единичной окружности (с центром в начале координат), a
- физически реализуемый, устойчивый фильтр с дискретным временем. Следовательно, пропуская последовательность
через цифровой фильтр
получаем выходную последовательность
, которую можно представить так
, (10.1.16)
где
- последовательность отсчетов гауссовского белого шума с нулевым средним, а
- набор взвешивающих коэффициентов в эквивалентном трансверсальном фильтре с дискретным временем, имеющий передаточную функцию
(причём не
). В общем последовательность
комплексная .
В совокупности каскадное соединение фильтра передатчика
, канала
, согласованного фильтра
, стробирующего устройства и фильтра для взвешивания шума с дискретным временем
можно представить в виде эквивалентного трансверсального фильтра с дискретным временем, имеющего набор взвешивающих коэффициентов
. Аддитивная шумовая последовательность
, искажающая сигнал на выходе трансверсального фильтра с дискретным временем, является белой гауссовской шумовой последовательностью с нулевым средним и дисперсией
. Рис. 10.1.3 иллюстрирует модель эквивалентной дискретной системы с белым шумом.
Мы будем ссылаться на эту модель, как на эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом.
Пример 10.1.1. Допустим, что сигнальный импульс передатчика
имеет длительность
и единичную энергию, а принимаемый сигнальный импульс равен
.
Определим эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом. Отсчеты автокорреляционной функции определены так
(10.1.17)

Рис. 10.1.3. Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ и АБГШ
Затем,
-преобразование
даёт
. (10.1.18)
Предполагая, что
, выберем
так, чтобы эквивалентный трансверсальный фильтр состоял из двух ячеек, имеющих коэффициенты усиления ячеек
. Заметим, что корреляционную последовательность
можно выразить через
так
. (10.1.19)
Если канальный отклик меняется медленно со временем, согласованный фильтр приемника становится меняющимся во времени фильтром (с переменными параметрами). В этом случае изменение во времени пары канал — согласованный фильтр приводит к фильтру с дискретным временем с переменными во времени коэффициентами. Как следствие, мы имеем эффект переменной во времени МСИ, которую можно моделировать фильтром, показанным на рис.10.1.3, у которого коэффициенты медленно меняются во времени.
Линейная фильтровая модель с дискретным временем и белым шумом для МСИ отражает то, что происходит при высокоскоростной передаче по идеальному ограниченному по полосе каналу. Она будет использоваться на протяжении всей этой главы при обсуждении техники компенсации МСИ. В общем, методы компенсации называют техникой выравнивания или алгоритмом выравнивания.