10.1.2. Модель канала с МСИ с дискретным временем

При рассмотрении ограниченных по полосе каналов с МСИ удобно разработать эквивалентную модель с дискретным временем для аналоговой (с непрерывным временем) системы. Поскольку передатчик посылает символы в дискретные моменты времени со скоростью  символов в секунду, а стробированный выход согласованного фильтра приемника также является сигналом дискретного времени с отчетами, возникающими со скоростью , то следует, что каскадное соединение аналогового фильтра передатчика с импульсной характеристикой , канала с импульсной характеристикой , согласованного фильтра в приемнике с импульсной характеристикой  и стробирующего устройства можно представить эквивалентным трансверсальным фильтром с дискретным временем, имеющий набор коэффициентов усиления . Следовательно, мы имеем эквивалентный трансверсальный фильтр с дискретным временем, который покрывает временной интервал  секунд. Его входом является информационная последовательность символов , а его выходом является последовательность с дискретным временем , определяемая (10.1.10). Эквивалентная модель с дискретным временем дана на рис.10.1.2.

Рис. 10.1.2. Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ

Основная трудность при использовании этой модели с дискретным временем возникает при оценивании качества различной техники выравнивания или техники оценивания, что обсуждается в следующих разделах. Трудности обусловлены корреляцией отсчетов шумовой последовательности  на выходе согласованного фильтра. Ряд шумовых величин  образуют последовательность с гауссовским распределением, с нулевым средним и автокорреляционной функцией (смотри задачу 10.5)

.                        (10.1.13)

Таким образом, шумовая последовательность коррелирована, если не выполняется условие . Поскольку более удобно иметь дело при расчёте такой характеристики качества как вероятность ошибки с белой шумовой последовательностью, то желательно обелить шумовую последовательность путём дальнейшей фильтрации последовательности .

Обеляющий фильтр с дискретным временем определяется следующим образом:

Пусть  обозначает (двухстороннее) -преобразование отсчетов автокорреляционной функции , т.е.

.                         (10.1.14)

Поскольку , следует  и  корней  имеют симметрию, так что, если  корень, то  тоже корень. Следовательно,  можно факторизовать и выразить так

,                          (10.1.15)

где  - полином степени , имеющий корни , a  - полином степени , имеющий корни . Подходящий обеляющий фильтр имеет -преобразование . Поскольку имеется  возможных способов выбора корней , а каждый выбор ведет к фильтру, который одинаков по амплитудной характеристике и различен по фазе по сравнению с другими выборами, то мы предлагаем выбрать уникальное , имеющее минимальную фазу, т.е. полином, имеющий все свои корни внутри единичного круга. Тогда все корни  лежат внутри единичной окружности (с центром в начале координат), a  - физически реализуемый, устойчивый фильтр с дискретным временем. Следовательно, пропуская последовательность  через цифровой фильтр  получаем выходную последовательность , которую можно представить так

,                    (10.1.16)

где  - последовательность отсчетов гауссовского белого шума с нулевым средним, а  - набор взвешивающих коэффициентов в эквивалентном трансверсальном фильтре с дискретным временем, имеющий передаточную функцию  (причём не ). В общем последовательность  комплексная .

В совокупности каскадное соединение фильтра передатчика , канала , согласованного фильтра , стробирующего устройства и фильтра для взвешивания шума с дискретным временем  можно представить в виде эквивалентного трансверсального фильтра с дискретным временем, имеющего набор взвешивающих коэффициентов . Аддитивная шумовая последовательность , искажающая сигнал на выходе трансверсального фильтра с дискретным временем, является белой гауссовской шумовой последовательностью с нулевым средним и дисперсией . Рис. 10.1.3 иллюстрирует модель эквивалентной дискретной системы с белым шумом.

Мы будем ссылаться на эту модель, как на эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом.

Пример 10.1.1. Допустим, что сигнальный импульс передатчика  имеет длительность  и единичную энергию, а принимаемый сигнальный импульс равен .

Определим эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом. Отсчеты автокорреляционной функции определены так

                       (10.1.17)

Рис. 10.1.3. Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ и АБГШ

Затем, -преобразование  даёт

.                       (10.1.18)

Предполагая, что , выберем  так, чтобы эквивалентный трансверсальный фильтр состоял из двух ячеек, имеющих коэффициенты усиления ячеек . Заметим, что корреляционную последовательность  можно выразить через  так

.                       (10.1.19)

Если канальный отклик меняется медленно со временем, согласованный фильтр приемника становится меняющимся во времени фильтром (с переменными параметрами). В этом случае изменение во времени пары канал — согласованный фильтр приводит к фильтру с дискретным временем с переменными во времени коэффициентами. Как следствие, мы имеем эффект переменной во времени МСИ, которую можно моделировать фильтром, показанным на рис.10.1.3, у которого коэффициенты медленно меняются во времени.

Линейная фильтровая модель с дискретным временем и белым шумом для МСИ отражает то, что происходит при высокоскоростной передаче по идеальному ограниченному по полосе каналу. Она будет использоваться на протяжении всей этой главы при обсуждении техники компенсации МСИ. В общем, методы компенсации называют техникой выравнивания или алгоритмом выравнивания.