10.1.1. Оптимальный приёмник максимального правдоподобия
Представим принимаемый сигнал
в виде разложения
, (10.1.2)
где
- полная система ортонормированных функций, a
- наблюдаемые (на фоне шума) случайные величины, полученные проектированием
на ансамбль
. Легко показать, что
(10.1.3)
где
- величина, полученная от проектирования
на
, a
- величина, полученная от проектирования
на
. Последовательность
является гауссовской с нулевым средним и ковариацией
. (10.1.4)
Совместная ФПВ случайных величин
при условии передачи последовательности
, где
, равна
. (10.1.5)
В пределе, когда число
наблюдаемых случайных величин становится неограниченным, логарифм
пропорционален метрикам
, определяемые так
(10.1.6)
Максимально-правдоподобные оценки символов
- это такие, которые максимизируют (10.1.6). Заметим, однако, что интеграл от
общий для всех метрик и, следовательно, его можно исключить. Второй интеграл, включающий
, зависит от величины
. (10.1.7)
Эти величины можно генерировать, пропуская
через фильтр, согласованный с
и стробируя выход со скоростью
. Отсчеты
образуют ряд достаточных статистик для вычисления
или, что эквивалентно, корреляционных метрик
, (10.1.8)
где, по определению,
- отклик согласованного фильтра на
, a
. (10.1.9)
Таким образом,
представляет выход фильтра, имеющего импульсную характеристику
и вход
. Другими словами,
представляет автокорреляционную функцию
. Соответственно
представляют отсчёты автокорреляционной функции
, взятые периодически через
. Мы не интересуемся тонкостями построения фильтра, согласованного с
, поскольку на практике мы можем ввести необходимую задержку, чтобы обеспечить реализуемость согласованного фильтра.
Если мы подставим для
в (10.1.2) соотношение (10.1.1) мы получим
, (10.1.10)
где
означает последовательность отсчётов аддитивного шума на выходе фильтра, т.е.
. (10.1.11)
Выходы демодулятора (согласованного фильтра) в моменты отсчёта искажены МСИ, как указано в (10.1.10). В любой практической системе разумно предположить, что МСИ влияет на ограниченное число символов. Таким образом, мы можем предположить, что
для
. Следовательно, МСИ, наблюдаемую на выходе демодулятора, можно рассматривать как выход машины с конечным числом состояний. Это позволяет выход канала с МСИ представить диаграммой решётки, а оценки максимального правдоподобия информационной последовательности
определяются наиболее вероятным путём по решетке, при данной принятой на выходе демодулятора последовательности
. Ясно, что алгоритм Витерби обеспечивает эффективный метод выполнения поиска по такой решётке.
Метрики, которые вычисляются при максимально правдоподобном последовательном оценивании (МППО, MLSE) последовательности
, определены (10.1.8). Можно видеть, что эти метрики можно вычислить рекуррентно посредствам алгоритма Витерби согласно соотношению
. (10.1.12)
На рис.10.1.1 дана блок-схема оптимального приёмника для канала с МСИ и АБГШ.

Рис.10.1.1. Оптимальный приёмник для канала с АБГШ и МСИ