10.1.4. Качество алгоритма МППО для каналов с МСИ

Теперь определим вероятность ошибки при использовании алгоритма МППО (MLSE) для принимаемой информационной последовательности, если информация предается посредством AM, а аддитивный шум в канале гауссовский. Похожесть между сверточным кодом и МСИ конечной длительности в канале подразумевает, что метод вычисления вероятности ошибки последней вытекает из первой. В частности, метод вычисления качества декодирования мягких решений сверточного кода посредствам алгоритма Витерби, описанный в разделе 8.2.3, применим здесь с некоторой модификацией.

При использовании в канале с аддитивным гауссовским шумом и МСИ сигналов AM, метрики, используемые в алгоритме Витерби, можно выразить как в (10.1.23) или, что эквивалентно, так

, (10.1.28)

где символы могут принять значение , a - это расстояние между соседними уровнями. Решетка имеет состояний и определяется в момент так

. (10.1.29)

Обозначим оцененные символы посредством алгоритма Витерби через , a соответствующие оцененные состояние в момент так

. (10.1.30)

Теперь предположим, что оцениваемый путь по решётке ответвляется от правильного пути в момент и сливается с правильным путём в момент . Таким образом, и , но для . Как и в свёрточном коде, мы назовём это ошибочным событием. Поскольку МСИ канала простирается на символов, то следует, что .

Для такого ошибочного события мы имеем и , но для и . Удобно определить вектор ошибки , соответствующий этим ошибочным событием, так

, (10.1.31)

где компоненты определяются так.

. (10.1.32)

Нормирующий множитель в (10.1.32) приводит к тому, что элемент принимает значения . Более того, вектор ошибок характеризуется свойствами, что и что нет последовательности из соседних элементов, которые равны нулю. С вектором ошибок в (10.1.31) связан полином степени .

. (10.1.33)

Мы хотим определить вероятность появления ошибочного события, которое начинается в момент и характеризуется вектором ошибок , определяемым (10.1.31) или, что эквивалентно, полиномом (10.1.33). Чтобы найти его, будем следовать процедуре, разработанной Форни (1972). Конкретнее, чтобы произошло ошибочное событие , должны произойти следующие три подсобытия и :

: в момент ;

: если суммировать информационную последовательность с масштабируемой последовательностью ошибок должна получиться разрешенная последовательность, т.е. последовательность должна иметь значения, выбираемые из ряда ;

: для сумма метрик ветвей оцениваемого пути превышает сумму метрик ветвей правильного пути.

Вероятность появления равна

(10.1.34)

Но

, (10.1.35)

где - вещественная белая гауссовская шумовая последовательность. Подстановка (10.1.35) в (10.1.34) дает

(10.1.36)

где для и . Если определим

, (10.1.37)

тогда (10.1.36) можно выразить так

, (10.1.38)

где множитель , общий для обоих слагаемых исключен. Теперь (10.1.38) как раз определяет вероятность того, что линейная комбинация статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним меньше некоторого отрицательного числа. Т.е.

. (10.1.39)

Для удобства определим

, (10.1.40)

где для и . Заметим, что , определяемые свёрткой и , являются коэффициентами полинома

. (10.1.41)

Далее просто равно коэффициенту при в полиноме

. (10.1.42)

Мы назовем евклидовым весом ошибочного события

Альтернативный метод для представление результата свертки и - это матричная форма

где - -мерный вектор, - -мерный вектор, а - матрица:

(10.1.43)

Тогда

, (10.1.44)

где -матрица вида

(10.1.45)

. (10.1.46)

Мы можем использовать или (10.1.40) и (10.1.41) или (10.1.45) и (10.1.46) для расчёта вероятности ошибки. Мы обсудим эти вычисления позже. Теперь же мы сделаем вывод, что вероятность подсобытия , определяемого (10.1.39), можно выразить так

, (10.1.47)

где мы использовали отношение

. (10.1.48)

Для исключения , а . Заметим, что в отсутствии МСИ и пропорционально вероятности ошибки на символ в -позиционной AM.

Вероятность подсобытия зависит только от статистических свойств входной последовательности. Мы предположим, что информационные символы равновероятны и что символы в передаваемой последовательности статистически независимы. Тогда для ошибки вида имеется возможных значений , таких что

следовательно

(10.1.49)

Вероятность подсобытия значительно более трудно вычислить точно из-за ее зависимости от подсобытия . Это значит, что мы должны вычислять . Однако , где - вероятность ошибки на символ. Следовательно хорошо аппроксимируется (и ограничено сверху) единицей для разумных низких значений вероятности ошибки. Таким образом, вероятность ошибочного события хорошо аппроксимируется и ограничена сверху так:

(10.1.50)

Пусть является набором всех ошибочных событий , начавшихся в момент и пусть является соответствующим числом ненулевых компонент (весом Хемминга или числом ошибочных символов) в каждом ошибочном событий . Тогда вероятность ошибки на символ ограничена сверху (объединённая граница) так

. (10.1.51)

Теперь пусть является множеством всех . Для каждого , пусть являются подмножеством ошибочных событий для которых . Тогда (10.1.51) можно выразить так

, (10.1.52)

где

. (10.1.53)

Выражение для вероятности ошибки в (10.1.52) похоже по форме на вероятность ошибки для сверточного кода при детектировании мягких решений, определяемая (8.2.26). Взвешивающие множители можно определить посредством диаграммы состояний ошибок, которая схожа диаграмме состояний сверточного кодера. Этот подход был показан Форни (1972) и Витерби и Омура (1979).

В общем, однако, использование диаграмм состояний ошибок для вычисления утомительно. Вместо этого мы можем упростить вычисление , сосредоточившись на основной член суммы (10.1.52). Из-за экспоненциальной зависимости каждого слагаемого суммы, выражение в основном определяется слагаемым, соответствующим минимальному значению , которое обозначим . Тогда вероятность ошибки на символ можно аппроксимировать так

, (10.1.54)

где

(10.1.55)

В общем . Таким образом, представляет потери в ОСШ, обусловленные МСИ.

Минимальное значение можно определить или из (10.1.40) или из оценки квадратичной формы (10.1.44) для различных последовательностей ошибок. В следующих двух примерах мы используем (10.1.40).

Пример 10.1.3. Рассмотрим двухпутевой канал с произвольными коэффициентами и , удовлетворяющих условию . Характеристика канала равна

. (10.1.56)

Для ошибочного события длиной

. (10.1.57)

Произведение можно выразить так

, (10.1.58)

где . Поскольку и

, (10.1.59)

то следует что .

Действительно , когда возникает одна ошибка, т.е. . Таким образом заключаем, что в этом случае нет потерь в ОСШ при максимально правдоподобной оценке информационного символа, когда длина дисперсии канала (канального расстояния) равна 2.

Пример 10.1.4. Контролируемое МСИ при сигнале с парциальным откликом можно рассматривать как результат генерации канала с временным рассеянием. Таким образом, МСИ от дуобинарного импульса можно представить через (нормированную) канальную характеристику.

(10.1.60)

Аналогично представление для модифицированного дуобинарного импульса равна

(10.1.61)

Минимальное расстояние для любого ошибочного события в виде

(10.1.62)

для канала, определяемого (10.1.60), поскольку

Аналогично, когда

, (10.1.63)

для канала, определяемого (10.1.61), поскольку

Таким образом, использование МППО в случае этих двух сигнальных откликов не ведет к потере в ОСШ. В противоположность этому, субоптимальное посимвольное детектирование, описанное выше, ведет к потере в 2,1 дБ.

Константу для этих двух сигналов легко рассчитать. С предкодированием число выходных ошибочных символов (вес Хемминга), связанное с ошибочными событиями (10.1.62) и (10.1.63) равно 2. Таким образом

. (10.1.64)

С другой стороны, без предкодирования, эти ошибочные события ведут к ошибке в символах и, следовательно,

(10.1.65)

Как заключительное упражнение мы рассмотрим оценивание из квадратичной формы (10.1.44). Матрица в (10.1.44) положительно определенная, следовательно, все её собственные значения положительные. Если являются собственными значениями, а являются соответствующими ортогональными собственными векторами , тогда для ошибочного события , квадратичную форма (10.1.44) можно представить так:

. (10.1.66)

Другими словами, выражается как линейная комбинация квадратов проекций канального вектора на собственные векторы . Каждый квадрат проекции в сумме взвешивается соответствующим собственным значением . Тогда

(10.1.67)

Интересно отметить, что наихудшую характеристику канала с рассеянием заданной длины можно получить, найдя собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению. Так если - минимальное собственное значение для заданного ошибочного события , a , является соответствующим собственным вектором, тогда

и .

Пример 10.1.5. Определим наихудший канал с рассеянием во времени длиной , найдя минимальное собственное значение для различных ошибочных событий. Итак,