10.2.1. Критерий пикового скажения

Пиковое искажение просто определяется как наиболее плохой случай МСИ на выходе эквалайзера. Минимизацию этого показателя качества называют критерием пикового искажения. Сначала мы рассмотрим минимизацию пикового искажения, предполагая, что эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. Затем мы обсудим случай, когда трансверсальный эквалайзер имеет конечное число ячеек.

Мы видели, что каскадное объединение модели линейного фильтра дискретного времени с импульсной характеристикой  и эквалайзера, имеющего импульсную характеристику , можно представить одним эквивалентным фильтром с импульсной характеристикой

.                       (10.2.2)

Это значит, что  - это просто свертка  и . Считается, что эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. Его выход в -й отсчетный момент можно выразить в виде

.                       (10.2.3)

Первое слагаемое в (10.2.3) представляет взвешенная версия желательного символа. Для удобства, мы нормируем  к единице. Второе слагаемое является МСИ. Пиковое значение этой интерференции, которое называется пиковым искажением, равно

.                         (10.2.4)

Таким образом,  является функцией взвешивающих коэффициентов ячеек эквалайзера.

При помощи эквалайзера с неограниченным числом ячеек возможно выбрать веса ячеек так, что , т. е.  для всех , исключая . Это значит, что МСИ может быть полностью исключено. Величины весов ячеек для выполнения этой цели определяются из условия

                      (10.2.5)

Взяв -преобразование от (10.2.5), получим

                       (10.2.6)

или просто

,                       (10.2.7)

где  означает -преобразование . Заметим, что эквалайзер с передаточной функцией  это просто обратный фильтр по отношению к линейной модели канального фильтра . Другими словами, полное исключение МСИ требует использования фильтра, обратного . Мы называем такой фильтр фильтром с нулевыми взаимными помехами («нуль-форсирующим» фильтром). Рис. 10.2.2 иллюстрирует блок-схему эквивалентного канала с дискретным временем и эквалайзера.

Рис. 10.2.2. Блок-схема канала с обнуляющим эквалайзером

Каскадное объединение обеляющего фильтра с передаточной функцией  и эквалайзера с нулевыми взаимными помехами (ЭНВП) с передаточной функцией  приводит к эквивалентному ЭНВП с передаточной функцией

,                       (10.2.8)

как показано на рис. 10.2.3.

Этот комбинированный фильтр имеет на входе последовательность  отсчётов согласованного фильтра, определённую (10.1.10). Его выход состоит из желательных символов, искажённых только аддитивным гауссовским белым шумом с нулевым средним.

Импульсная характеристика комбинированного фильтра равна

Рис. 10.2.3. Блок-схема канала с эквивалентным обнуляющим эквалайзером

,                          (10.2.9)

где интегрирование выполняется по замкнутому контуру, который содержит внутри себя область сходимости . Поскольку  - это полином с  корнями , то следует, что  должен сходиться в плоскости, внутри единичной окружности . Следовательно, контуром интегрирования может быть единичная окружность.

Качество эквалайзера с неограниченным числом ячеек, который полностью устраняет МСИ, легко выразить через отношение сигнал-шум (ОСШ) на его выходе. Для математического удобства мы нормируем энергию принимаемого сигнала к единице. Это предполагает, что  и что ожидаемая величина  также равна единице. Тогда ОСШ равно обратной величине дисперсии шума  на выходе эквалайзера.

Величину  можно просто определить, если заметить, что шумовая последовательность  на входе эквивалентного ЭНВП с характеристикой  имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности

,                         (10.2.10)

где  получено из  подстановкой . Поскольку , следует, что выходная шумовая последовательность эквалайзера имеет спектральную плотность мощности

.                       (10.2.11)

Следовательно, дисперсия шума на выходе эквалайзера

,                      (10.2.12)

а ОСШ на выходе ЭНВП равна

.                      (10.2.13)

где индекс у  указывает на то, что эквалайзер имеет неограниченное число ячеек.

Спектральная характеристика , соответствующая преобразованию Фурье последовательности отсчётов , имеет интересную связь с характеристикой аналогового фильтра , используемого в приёмнике. Поскольку

,

то используя теорему Парсеваля имеем

                         (10.2.14)

где  - преобразование Фурье от . Но интеграл в 10.2.14 можно выразить в форме

                       (10.2.15)

Теперь преобразование Фурье (дискретное)  равно

,                      (10.2.16)

а обратное преобразование Фурье легко выразить так

.                      (10.2.17)

Из сравнения (10.2.15) и (10.2.17) мы получаем желательное соотношение между  и . Оно таково

,                      (10.2.18)

где правая часть (10.2.18) называется сложенным спектром . Мы также видим, что , где  - преобразование Фурье от сигнала , a  - отклик согласованного фильтра на входное воздействие . Следовательно, правую часть (10.2.18) можно также выразить через .

Подставив  согласно (10.2.18) в (10.2.13), получаем желательное выражение для ОСШ в виде

.                       (10.2.19)

Мы видим, что если сложенная спектральная характеристика  имеет нули, интеграл оказывается неограниченным, а ОСШ становится равным нулю. Другими словами, качество эквалайзера плохое всякий раз, когда сложенная спектральная характеристика проходит через нуль или имеет малое значение. Такое поведение возникает прежде всего потому, что эквалайзер, устраняя МСИ, увеличивает аддитивный шум. Например, если канал имеет нуль в своей частотной характеристике, линейный ЭНВП пытается это компенсировать введением неограниченного усиления на этой частоте. Но такая компенсация искажений в канале достигается ценой увеличения аддитивного шума. С другой стороны, идеальный канал, связанный с подходящим синтезом, который ведёт к отсутствию МСИ, будет иметь сложенный спектр, который удовлетворяет условию:

.                         (10.2.20)

В этом случае ОСШ достигает максимального значения, а именно

.                       (10.2.21)

Эквалайзер ограниченной длины. Теперь обратим наше внимание на эквалайзер, имеющий  ячеек. Поскольку  для  свёртка от  и  равно нулю вне области . Это значит, что  для  и . При нормировке  к единице, пиковое искажение равно

.                           (10.2.22)

Хотя эквалайзер имеет  регулируемых параметров, имеется  ненулевых значений откликов . Следовательно, в общем невозможно полностью исключить МСИ на выходе эквалайзера. Здесь всегда имеется остаточная интерференция даже при использовании оптимальных коэффициентов. Проблема заключается в минимизации  по коэффициентам .

Лакки (1965) показал, что пиковое искажение, определяемое (10.2.22), является выпуклой функцией коэффициентов . Это значит, что она обладает глобальным минимумом, а не относительным минимумом. Её минимизацию можно выполнить численно, например, методом скорейшего спуска. Немного больше можно сказать об общем решении этой проблемы минимизации. Однако, для одного частного, но важного случая, решение по минимизации  известно. Это случай, когда искажение на выходе эквалайзера, определяемое как

,                      (10.2.23)

меньше единицы. Это условие эквивалентно наличия открытого глазка априори до выравнивания. Это значит, что МСИ не настолько тяжёлая, чтобы закрыть глазок. При этом условии пиковое искажение  минимизируется выбором коэффициентов эквалайзера для обеспечения  для  и . Другими словами, общее решение по минимизации , когда , является «нуль-форсированное» решение для  в области . Однако величины  для  в общем ненулевые. Эти ненулевые величины образуют остаточную МСИ на выходе эквалайзера.