10.2.3. Характеристики качества эквалайзера по минимуму СКО

В этом разделе мы рассмотрим характеристики качества линейного эквалайзера, который оптимизирован при использовании критерия минимума СКО. Как минимум СКО, так и вероятность ошибки рассматриваются как меры качества для некоторых специфических каналов. Мы начнем с вычисления минимума СКО  и выходного ОСШ  для специфических каналов. Затем мы рассмотрим оценку для вероятности ошибки.

Пример 10.2.1. Сначала мы рассмотрим эквивалентную модель канала с декретным временем, который состоит из двух компонент  и , которые нормированы так . Имеем

                                            

и

                            

Соответствующая частотная характеристика равна

  

где  - угол . Заметим, что эта канальная характеристика содержит нуль на частоте , когда .

Линейный эквалайзер с неограниченным числом ячеек, построенный на основе критерия минимума СКО, будет иметь минимум СКО, определённый (10.2.38). Вычисление интеграла (10.2.38) при , определяемом (10.2.51), приводит к результату

 

Рассмотрим частный случай, когда . Тогда минимум СКО  а соответствующее выходное ОСШ равно

           

Этот результат можно сравнить с выходным ОСШ , полученным для случая отсутствия МСИ. В этом канале возникает незначительная потеря в ОСШ.

Пример 10.2.2. В качестве второго примера рассмотрим показательную затухающую характеристику канала в виде ,  где . Преобразование Фурье этой последовательности

                         

Является функция с минимумом при .

Выходные ОСШ для этого канала

  

Следовательно, потеря в ОСШ из-за интерференции равна .

Вероятность ошибки в линейном эквалайзере по минимуму СКО. Выше мы обсуждали качество линейного эквалайзера через минимально достижимое СКО  и выходное ОСШ , связанное с  формулой (10.2.40). К сожалению нет простого отношения между этими характеристиками и вероятностью ошибки. Причина в том, что линейный эквалайзер по минимуму СКО содержит некоторую остаточную МСИ на своём выходе. Эта ситуация не похожа на ту, которая имеет место в ЭНВП неограниченной длины, в котором нет остаточной интерференции, но только гауссовский  шум. Остаточная интерференция на выходе эквалайзера по минимуму СКО не удовлетворительно характеризуется, как аддитивный гаусовский шум, и, следовательно, выходное ОСШ нельзя легко преобразовать в эквивалентную вероятность ошибки.

Одним из подходов к вычислению вероятности ошибки является жестко форсированный метод, который дает точный результат. Для иллюстрации этого метода рассмотрим АМ сигнал, в котором информационные символы отображаются набором значений амплитуд ,  с равной вероятностью. Теперь рассмотрим решение о символе . Оценка  равна

              

где  представляет свертку импульсной характеристики эквалайзера и эквивалентного канала, т.е.

                                            

а выходной сигнал на эквалайзере равен

                                       

Первое слагаемое суммы в правой части (10.2.56) – это желательный символ, остальные слагаемые суммы – это МСИ, а последнее слагаемое является гауссовским шумом. Дисперсия шума

                                             

Для эквалайзера с  ячейками и канальным откликом, который простирается на  символов, число символов, участвующих в МСИ, равно . Определим

                                                   

Для частной последовательности из  информационных символов, скажем последовательности , слагаемое МСИ  фиксировано. Вероятности ошибки для фиксировано  равна

  

где  означает слагаемое аддитивного шума. Средняя вероятность ошибки получается путем усреднения  по всем возможным последовательностям . Это даёт

Когда все последовательности равновероятны, то

                                            

Условные вероятности ошибки  главным образом определяются последовательностью, которая содержит наибольшее значение , т.е. тогда, когда их, а знаки информационных символов определяют знаки соответствующих . При этом

и

               

Таким образом, верхняя граница для средней вероятности ошибки для равновероятных последовательностей символов определяется так:

                                                 

Если вычисления вероятности ошибки по точной формуле (10.2.62) представляется слишком обремененным и слишком много теряется времени из-за большого числа слагаемых суммы и если верхняя граница слишком свободна, то можно прибегнуть к одному из многих различных приближенных методов, которые были разработаны и которые, как известно, дают плотные границы для . Обсуждение этих различных подходов уведет нас слишком далеко в сторону. Интересующемуся читателю рекомендуются статьи Зальцберга (1968), Луганани (1969), Хо и Е (1970), Шимбо и Целебилера (1971), Главе (1972), Яо (1972) и Яо и Тобина (1976).

В качестве иллюстрации ограничения качества линейного эквалайзера в присутствии существенной МСИ, рассмотрим на рис.10.2.4 вероятность ошибки для двоичных (противоположных) сигналов, полученных моделированием по методу Монте-Карло для трех каналов с дискретным временем, показанным на рис.10.2.5. С целью сравнения на рис.10.2.4 также показана характеристика, полученная для канала без МСИ. Характеристика эквивалентного канала с дискретным временем, показанная на рис.10.2.5(а), типична для телефонного канала хорошего качества.

В противоположность, характеристики эквивалентных каналов с дискретным временем, показанные на рис.10.2.5(b) и (c), приводят к существенной МСИ. Спектральные характеристики  для трёх каналов, иллюстрируемые на рис.10.2.6, ясно показывают, что канал по рис.10.2.5(c) имеет наихудшую спектральную характеристику. Следовательно, качество линейного эквалайзера для этого канала наихудшее из трёх рассматриваемых случаев. Следующий по качеству канал показанный на рис.10.2.5(b), и наконец, наилучшее качество получается для канала, показанного на рис.10.2.5(a). Действительно, он проигрывает каналу без МСИ по ОСШ примерно на 3 дБ.

Одно заключение следует из результатов для выходного ОСШ  и ограниченных результатов вероятности ошибки, иллюстрируемых рис.10.2.4; именно, что линейный эквалайзер приводит к хорошему качеству для таких каналов, как телефонные линии, у которых спектральные характеристики хорошо себя ведут и не содержат нулей. С другой стороны, линейный эквалайзер не годится как компенсатор МСИ для каналов со спектральными нулями, которые встречаются в радиосвязи.

Эквалайзер с обратной связью, описываемый в разделе 10.3, представляется эффективным решением проблемы вычислительной сложности.

Рис. 10.2.4. Вероятность ошибки с использованием MSE эквалайзера

Рис. 10.2.5. Три характеристики дискретного во времени канала

Рис. 10.2.6. АЧХ для каналов, показанных на рис. 10.2.5 (a),(b), и (c) соответственно