11.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ МИНИМАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ВЫРАВНИВАНИЯ

НК алгоритм, который  был описан в разделе 11.1 и 11.2 для адаптивной настройки коэффициентов ячеек линейного эквалайзера или ЭОСР является по существу (стохастическим) алгоритмом кратчайшего спуска, в котором правильный вектор градиентов аппроксимируется оценкой, полученной непосредственно по данным.

Важнейшее преимущество алгоритма кратчайшего спуска определяется его вычислительной простотой. Однако плата за простоту – медленная сходимость особенно, если характеристики канала отражены в матрице автокорреляций , чьи собственные значения имеют большой разброс, т.е. . Если посмотреть с другой точки зрения то градиентный алгоритм имеет единственный настраиваемый параметр для управления скорости, а именно параметр . Следовательно, медленная сходимость обусловлена фундаментальным ограничением.

Для получения быстрой сходимости необходимо разработать более сложные алгоритмы, включающие дополнительные параметры. В частности, если матрица  размером  имеет собственные значения , мы можем использовать алгоритм, который содержит  параметров – один для каждого собственного значения. Оптимальный выбор этих параметров для достижения быстрой сходимости является темой этого раздела.

При разработке алгоритмов быстрой сходимости мы будем использовать подход минимальных квадратов. Таким образом, мы будем работать непосредственно с принимаемыми данными для минимизации квадратичного показателя качества, в то время как раньше мы минимизировали ожидаемую величину среднеквадратичной ошибки. Проще говоря, это значит, что показатель качества выражается через временное среднее вместо статистического среднего.

Удобно выразить рекуррентные алгоритмы наименьших квадратов в матричном виде. С этой целью определим некоторое число векторов и матриц, которые необходимы в этом исследовании. Так поступая, мы не значительно изменим привычные обозначения. Конкретнее, оценку информационных символов в момент , где  целое, в линейном эквалайзере теперь выразим так:

Изменяя индекс  для  от  до  и определив на время

оценку  можно выразить так

   

где  и  - соответственно векторы-столбцы коэффициентов эквалайзера   и входных сигналов , .

Аналогично, в эквалайзере с обратной связью по решению мы имеем коэффициенты ячеек , , где первые  является коэффициентами фильтра с прямой связью, а оставшиеся  являются коэффициентами фильтра обратной связи. Данные в оценке  являются , где ,  означают оценки по ранее продетектированнам символам. В этом исследовании мы пренебрегаем влиянием ошибочных решений в алгоритме. Итак, мы считаем, что .

Для удобства обозначений мы также определим

                 

Следовательно,