11.4.2. Линейное предсказание и лестничные фильтры

В главе 3 мы рассмотрели линейное предсказание сигнала в плане кодирования речи. В этом разделе мы хотим установить связь между линейным предсказанием и лестничным фильтром.

Проблему линейного предсказания можно сформировать так: по значениям набора данных  надо предсказать значение данных в последующей точке . Предсказатель порядка  определяется так

                                      (11.4.25)

Минимизация СКО

    (11.4.26)

по коэффициентам предсказания  ведет к системе линейных уравнений

               (11.4.27)

где

Их называют нормальными уравнениями Юли-Волкера.

Матрица коэффициентов  с элементами  является теплицевой матрицей. Следовательно, алгоритм Левинсона-Дурбина, описанный в приложении А, дает эффективный способ для рекуррентного решения линейных уравнений, начиная с предсказателя первого порядка и продолжая рекуррентного для нахождения коэффициентов предсказателя порядка . Рекуррентные соотношения для алгоритма Левинсона-Дурбина таковы

(11.4.28)

для , причем векторы  определены так:

Линейный предсказывающий фильтр порядка  можно реализовать как трансверсальный фильтр с передаточной функцией

                                       (11.4.29)

Его входом являются данные , а его выходом – ошибка . Предсказывающий фильтр можно также реализовать в лестничном виде, как мы теперь покажем.

Начнем с использованием алгоритма Левинсона-Дурбина для коэффициентов предсказателя  в (11.4.29). Подстановка дает

    (11.4.30)

Таким образом, мы получим передаточную функцию предсказателя -го порядка через передаточную функцию -го порядка. Теперь предположим, что мы определяем фильтр с передаточной функцией , равной

                                      (11.4.31)

Тогда (11.4.30) можно выразить так

                   (11.4.32)

Заметим, что  представляет трансверсальный фильтр с коэффициентами в отводах , в то время как коэффициенты для  такие же за исключением того, что они даны в обратном порядке.

Больше понимания соотношения между  и  можно получить путем вычисления выхода этих двух фильтров при подачи ко входу последовательности . Используя -преобразования, имеем

    (11.4.33)

Выходы фильтров мы определяем так

                                        (11.4.34)

Тогда (11.4.33) можно записать

                   (11.4.35)

Во временной области соотношение (11.4.35) можно выразить так

    (11.4.36)

где

                          (11.4.37)

             (11.4.38)

Для детальной разработки отметим, что  в (11.4.37) представляет ошибку предсказания -го порядка по более ранним отсчетам (ошибка вперед), в то время как  представляет ошибку предсказания -го порядка по более поздним отсчетам (ошибка назад).

Соотношение (11.4.36) – одно из двух, определяющих лестничный фильтр. Второе соотношение получается из  следующим образом:

   (11.4.39)

Теперь мы умножим левую и правые части (11.4.39) на  и выразим результаты через  и , используя определение (11.4.34), мы получим

                   (11.4.40)

Путем преобразования (11.4.40) во временную область мы получим второе отношение, которое соответствует лестничному фильтру, а именно

       (11.4.41)

Начальные условия

                                         (11.4.42)

Лестничные фильтры, описанные рекуррентными отношениями (11.4.36) и (11.4.40), иллюстрируются на рис.11.4.2.

Рис. 11.4.2. Лестничный фильтр.

Каждый каскад характеризуется собственным коэффициентом умножения , , который определяется алгоритмом Левинсона-Дурбина. Ошибки вперёд и назад  и  обычно называют остатками. Средний квадрат этих остатков равен

                           (11.4.43)

а  определяется рекуррентно согласно алгоритму Левинсона-Дурбина:

               (11.4.44)

где

Остатки  и  удовлетворяют ряду интересных свойств, как описано Макхоулом (1978). Наиболее важные из них – свойства ортогональности

                      (11.4.45)

Далее, взаимные корреляции между  и  определяются так

(11.4.46)

Вследствие свойств ортогональности остатков, различные секции лестницы проявляют форму независимости, которая позволяет нам прибавить или удалить одну или больше последних каскадов без влияния на параметры оставшихся каскадов. Поскольку остаточный средний квадрат ошибки  уменьшается монотонно с числом секций,  можно использовать как показатель качества того, каким числом ячеек можно ограничиться.

Из вышеприведенного обсуждения мы видим, что линейный предсказывающий фильтр можно реализовать или как линейный трансверсальный фильтр или как лестничный фильтр. Лестничный фильтр рекуррентен по порядку и, как следствие, число его секций (каскадов) можно легко увеличить или уменьшить без влияния на параметры оставшихся секций. В противоположность этому коэффициенты трансверсального фильтра, полученные на основе РНК, взаимозависимы. Это значит, что увеличение или уменьшение размера фильтра приведет к изменению всех коэффициентов. Следовательно, алгоритм Калмана, описанный в разделе 11.4.1, рекуррентен во времени, но не по порядку реализующих его звеньев.

Основываясь на оптимизации по критерию наименьших квадратов, лестничные алгоритмы РНК были реализованы так, что их вычислительная сложность растет линейно с ростом числа коэффициентов фильтра  (числа каскадов). Таким образом, структура лестничного эквалайзера в вычислительном отношении конкурентоспособна с алгоритмом быстро РНК эквалайзера прямой формы. Лестничные алгоритмы РНК описаны в статьях Морфа и др. (1973), Саториуса и Александера (1979). Саториуса и Пака (1981), Линга и Прокиса (1984) и Линга и др. (1986).

Лестничные алгоритмы РНК имеют несомненное будущее, поскольку они численно нечувствительны по отношению к случайным ошибкам, свойственным цифровой реализации алгоритма. Трактовку их количественных характеристик можно найти в статьях и других (1984,1986).