2.2.2. Спектральная плотность мощности

Частотный состав сигнала - его базовая характеристика, которой один сигнал отличается от другого. В общем, сигнал можно классифицировать как имеющий или финитную (ненулевую) среднюю мощность (и неограниченную энергию) или ограниченную энергию. Частотный состав сигнала с ограниченной энергией получается как преобразование Фурье соответствующей функции времени. Если сигнал периодический, его энергия не ограничена и, следовательно, его преобразование Фурье не существует. Для спектрального анализа периодический сигнал представляют рядом Фурье. Посредством такого представления коэффициенты Фурье определяют распределение мощности на различных дискретных частотных компонентах.

Стационарный случайный процесс имеет неограниченную энергию и, следовательно, его преобразование Фурье не существует. Спектральные характеристики случайного сигнала можно получить путем вычисления преобразования Фурье автокорреляционной функции, т.е. распределение мощности по частотам определяется формулой

.                                        (2.2.16)

Обратное преобразование Фурье дает

.                                         (2.2.17)

Можно видеть, что

.                           (2.2.18)

Поскольку  определяет среднюю мощность случайного сигнала, которая равна площади под кривой , то  определяет распределение мощности как функция частоты. Поэтому  называют спектральной плотностью мощности случайного процесса.

Если случайный процесс вещественный,  - вещественная и четная функция и, следовательно,  - также вещественная и четная функция. С другой стороны, если процесс комплексный,  и, следовательно,

      (2.2.19)

Значит,  - вещественная функция.

Спектральную плотность мощности можно определить и для совместно стационарных процессов  и , которые имеют взаимную функцию корреляции . Преобразование Фурье от , т.е.

,                                            (2.2.20)

называют взаимной спектральной плотностью мощности.

Если мы возьмем сопряженные значения двух частей (2.2.20), получим

.       (2.2.21)

Это соотношение справедливо в любом случае. Однако если  и  - вещественные случайные процессы, то

.                (2.2.22)

Объединяя результаты (2.2.21) и (2.2.22), находим, что взаимная спектральная (плотность мощности двух вещественных процессов удовлетворяет условию

.                                                  (2.2.23)