2.2.1. Статистические средние

Так же, как мы определили статистические средние для случайных величин, мы можем определить статистические средние для случайного процесса. Такие средние также называют средними по ансамблю. Пусть определяет случайный процесс и пусть . Тогда -й момент случайной величины определяется как

(2.2.2)

Вообще говоря, значение -го момента будет зависеть от времени , если ФПВ для зависит от . Однако, если процесс стационарен, для всех то ФПВ не зависит от времени и, как следствие -й момент не зависит от времени.

Далее мы рассмотрим две случайные величины , . Корреляция между и измеряется совместным моментом

. (2.2.3)

Так как этот совместный момент зависит от выбора и , его обозначают . Функцию называют автокорреляционной функцией случайного процесса. Если процесс стационарен, СФПВ пары идентична СФПВ пары для произвольного . Это означает, что функция автокорреляции не зависит от конкретных значений и , но зависит от их разности . Таким образом, для стационарного случайного процесса совместный момент (2.2.3) равен

, (2.2.4)

где или, что эквивалентно, . Если положить , то

Следовательно, является чётной функцией. Заметим также, что определяет среднюю мощность процесса .

Существуют нестационарные процессы со свойствами: среднее значение процесса не зависит от времени (константа), а функция автокорреляции удовлетворяет условию .

Такие процессы называют стационарными в широком смысле. Следовательно, стационарность в широком смысле – это менее строгое условие, чем стационарность строгом смысле. Если делается ссылка на стационарный случайный процесс при последующих обсуждениях, в которых участвуют функции корреляции, то везде имеется виду менее строгое условие (стационарность в широком смысле).

С функцией автокорреляции связана функция автоковариации случайного процесса, которая определяется так

, (2.2.5)

где и - средние для и соответственно. Если процесс стационарен, функция автоковариации упрощается и зависит только от :

, (2.2.6)

Совместные моменты более высокого порядка для двух или более случайных величин, полученных из случайного процесса, определятся очевидным образом. За исключением гауссовского случайного процесса, для которого моменты более высокого порядка можно выразить через моменты первого и второго порядка, моменты высокого порядка встречаются на практике очень редко.

Средние для гауссовских процессов. Предположим, что является гауссовским случайным процессом. Следовательно, в момент времени , , случайные величины , являются совместно гауссовскими со средними значениями , , и с автоковариациями

, . (2.2.7)

Если мы обозначим матрицу ковариаций с элементами через и вектор средних значений через , тогда СФПВ случайных величин , определяется формулой (2.1.150). Если гауссовский процесс стационарен, то для всех и . Гауссовский случайный процесс полностью определяется средними значениями и функцией автокорреляции. Так как совместное гауссовское ФПВ зависит только от этих двух моментов, то следует, что если гауссовский процесс стационарен в широком смысле, он также стационарен в строгом смысле. Конечно, обратное утверждение верно для любого случайного процесса.

Средние для совместных случайных процессов. Пусть и - два случайных процесса и пусть , , и , представляют случайные величины в моменты и соответственно. Эти два процесса характеризуются статистически их СФПВ

для ряда моментов , и для положительных целых значений и . Функция взаимной (кросс-) корреляции и , обозначаемая , находится как совместный момент

, (2.2.8)

а функция взаимных ковариаций

. (2.2.9)

Когда процессы совместно и индивидуально стационарны, имеем и . В этом случае

. (2.2.10)

Случайные процессы и называются статистически независимыми, если, и только если

для всех значений и и для всех положительных целых и . Процессы называются некоррелированными, если . Следовательно, .

Комплексный случайный процесс определяется как

, (2.2.11)

где и являются случайными процессами. СФПВ случайных величин , , дается СФПВ компонентов , . Так, ФПВ, которая характеризует , , равна

Комплексный случайный процесс встречается при представлении узкополосного шума на выходе полосового фильтра через его эквивалентные низкочастотные компоненты. Важной характеристикой такого процесса является его автокорреляционная функция. Эта функция определяется так:

, (2.2.12)

где и - функции автокорреляции и соответственно, а и - функции взаимной корреляции. Множитель при определении функции автокорреляции комплексного случайного процесса является произвольным, но он дает математически удобную нормировку, как мы покажем в нашем рассмотрении таких процессов в гл. 4.