11.5.3. Алгоритмы слепого выравнивания, основанные на статистике сигнала второго и более высокого порядка

Хорошо известно, что статистика второго порядка (автокорреляция) принимаемой сигнальной последовательности дает информацию об амплитудно-частотной характеристике, но не о фазочастотной характеристике. Однако это утверждение неправильно, если автокорреляционная функция принимаемого сигнала периодическая, что является случаем цифрового модулированного сигнала. В таком случае возможно получить измерение АЧХ и ФЧХ канала по принимаемому сигналу. Это свойство циклостационарности принимаемого сигнала образует базу для алгоритмов оценки канала, предложенных Тонгом и др. (1993).

Также возможность оценить характеристики канала по принимаемому сигналу, используя методы статистики более высокого порядка. В частности, импульсную характеристику линейной не меняющейся во времени системы с дискретным временем можно получить полностью по кумулянтам принимаемого сигнала, при условии, что вход канала не гауссовский. Мы опишем простой метод оценки импульсной характеристики канала (отклик канала импульс?) при помощи кумулянтов четвертого порядка принимаемой сигнальной последовательности. Кумулянт четвертого порядка определяется так:

   (11.5.36)

(кумулянт четвертого порядка для гауссовского сигнала равен нулю). Как следствие, получаем

   (11.5.37)

Для статистически независимой и одинаково распределённой входной последовательности  канала  - константа, называемая куртосисом. Затем, если память канала равна , мы можем положить , так что

                                  (11.5.38)

Аналогично, если положим , , и , получим

                                      (11.5.39)

Если скомбинируем (11.5.38) и (11.5.39), мы получим отсчеты импульсной характеристики канала с точностью до скалярного множителя

      (11.5.40)

Кумулянты  оцениваются усреднением по отсчетам принимаемой сигнальной последовательности .

Другой подход, основанный на статистике высших порядков использовали Хатзинакос и Никиас (1991). Они первыми ввели полиспектральный метод адаптивного слепого выравнивания, называемый трикепстр-алгоритмом выравнивания (ТАВ).

Этот метод оценивает характеристики канального отклика путем использования сложного кепстрального представления кумулянта четвертого порядка (трикепстр) принимаемой сигнальной последовательности . ТАВ зависит только от кумулянтов четвертого порядка от  и способен отдельно реконструировать минимально-фазовые и максимально-фазовые характеристики канала. Затем вычисляются коэффициенты канального эквалайзера по измеренным канальным характеристикам. Базовый подход, использующий ТАВ, сводится к вычислению трикепстра принимаемый сигнальной последовательности , который является обратным (трёхмерным) преобразованием Фурье логарифма трикепстра от . (Трикепстр является трёхмерным дискретным преобразованием Фурье кумулянтной последовательности четвертого порядка ). Коэффициенты  эквалайзера вычисляются по кепстр-коэффициентами.

Путем отделения оценивания канала от канального выравнивания, возможно использовать любой тип эквалайзера для МСИ, то есть или линейной, или с обратной связью по решению, или максимально правдоподобное последовательное детектирование. Главный недостаток этого класса алгоритмов – большое количество данных и свойственная им вычислительная сложность, включая оценивание моментов высоких порядков  (кумулянтов) принимаемого сигнала.

В заключении мы дали обзор трёх классов алгоритмов слепого выравнивания, которые нашли применение в цифровой связи. Из трех семейств описанных алгоритмов те, которые базируются на правиле максимального правдоподобия для совместного оценивания импульсной характеристики канала и последовательности данных, являются оптимальными и требуют относительно немного принимаемых отсчетов сигнала для выполнения оценивания канала. Однако вычислительная сложность этих алгоритмов велика, когда МСИ простирается на много символов. В некоторых каналах, таких как каналы мобильной радиосвязи, когда протяжённость МСИ относительно короткая, эти алгоритмы легко выполнять, однако в телефонных каналах, где МСИ простирается на многие символы, но она не является очень тяжёлой, обычно используются алгоритмы типа НК (стохастического градиента).