11.5.2. Стохастический градиентный алгоритм

Другим классом алгоритмов слепого выравнивания являются схемы стохастически-градиентного итеративного выравнивания, которые содержат на выходе линейного КИХ-выравнивающего фильтра безынерционную нелинейность, для того чтобы генерировать «желательную характеристику» на каждой итерации.

Начнем с первоначального предположения, что коэффициенты оптимального эквалайзера равны . Затем свёртку импульсной характеристики канала и импульсных откликов эквалайзера можно выразить так

(11.5.16)

где - единичная отсчетная последовательность, а означает последовательность ошибок, возникающая из нашего первоначального предположения коэффициентов эквалайзера.

Если мы возьмем свертку импульсного отклика эквалайзера и принимаемой последовательности мы получим

(11.5.17)

Слагаемое в (11.5.17) представляет желательную последовательность данных, слагаемое представляет остаточную МСИ, а слагаемое представляет аддитивный шум. Наша задача сводится к использованию «развернутой» последовательности , чтобы найти наилучшую оценку «желательного» отклика, которую обозначим в общем . В случае адаптивного выравнивания, использующего обучающую последовательность . При варианте слепого выравнивании мы хотим генерировать «желательный» отклик из .

Для определения наилучшей оценки по наблюдаемой на выходе эквалайзера последовательности можно использовать критерий минимума среднего квадрата ошибки (СКО). Поскольку передаваемые последовательности имеет негауссовскую ФПВ, оценка по минимуму СКО определяется нелинейным преобразованием . В общем «наилучшая оценка определяется так:

(11.5.18)

где - нелинейная функция. Последовательность затем используется для генерирования сигнала ошибки, который подается обратно на фильтр адаптивного выравнивания, как показано на рис.11.5.1.

Как хорошо известно, классическая задача оценивания формулируется так. Если выход эквалайзера выразить так

(11.5.19)

где предполагается гауссовским с нулевым средним (здесь использована центральная предельная теорема теории вероятности для остаточной МСИ и аддитивного шума), и статистически независимы, а - статистически независимые и одинаково распределенные случайные величины, тогда оценка по минимуму СКО равна

(11.5.20)

которая является нелинейной функцией выхода эквалайзера, если негауссовские случайные величины.

Рис.11.5.1. Адаптивное слепое выравнивание со стохастическим градиентным алгоритмом

Таблица 11.5.1. Стохастические градиентные алгоритмы для слепого выравнивания

Табл.11.5.1 иллюстрирует общую форму существующих алгоритмов слепого выравнивания, базирующиеся на НК адаптации. Мы видим, что базовое отличие этих алгоритмов заключается в выборе инерционной нелинейности. Наиболее широко используемым на практике алгоритмом является алгоритм Годарда, иногда называемый алгоритмом с постоянным модулем (АПМ).

Из табл.11.5.1 очевидно, что выходная последовательность , получаемая при использовании нелинейной функции от выхода эквалайзера, играет роль желательного отклика или обучающей последовательности. Также очевидно, что рассматриваемые алгоритмы просты для реализации, поскольку они являются базовыми алгоритмами типа НК. Раз так, мы ожидаем, что характеристики сходимости этих алгоритмов будут зависеть от матрицы автокорреляции принимаемых данных .

С учетом сходимости адаптивные алгоритмы вида НК сходятся в среднем, когда

(11.5.21)

И в среднем квадратичном смысле, когда (верхний индекс означает сопряженное транспонирование)

(11.5.22)

Следовательно, требуется, чтобы выход эквалайзера удовлетворял условию (11.5.22). Заметим, что (11.5.22) устанавливает, что автокорреляции (правая часть) рана взаимной корреляции между и нелинейного преобразования (левая часть). Процесс, удовлетворяющий этому свойству, назван Беллини (1986) процессом Базганга (1952). В целом алгоритмы, данные в табл.11.5.1, сходятся, когда выходная последовательность эквалайзера удовлетворяет свойству Базганга.

Базовое ограничение стохастических градиентных алгоритмов относительно медленная сходимость. Некоторые улучшения в скоростях сходимости можно достичь модификацией адаптивных алгоритмов типа НК в рекуррентный тип наименьших квадратов (РНК).

Алгоритм Годарда. Как указано выше, алгоритм слепого выравнивания Годарда является алгоритмом скорейшего спуска, который широко используется на практике, когда обучающая последовательность нежелательна. Опишем этот алгоритм более подробно.

Годард рассматривает задачу об обследовании выравнивания и восстановления фазы несущей и её отслеживания. Отслеживание фазы несущей выполняется на базовом сигнале после эквалайзера, как показано на рис.11.5.2.

Основываясь на этой структуре, мы можем выразить выход эквалайзера так

(11.5.23)

а выход на устройство решения так , где - оценка фазы несущей на -м символьном интервале.

Если желательный символ известен мы можем формировать сигнал ошибки

(11.5.24)

и минимизировать СКО по и

(11.5.25)

Этот критерий ведет нас к использованию алгоритма НК для рекуррентного оценивания и . Алгоритм НК, базирующийся на знании переданной последовательности можно записать

(11.5.26)

(11.5.27)

где и - параметры размера шага для двух рекуррентных уравнений. Заметим, что эти рекуррентные уравнения объединены вместе. К сожалению, эти уравнения, в общем не сходятся, когда желательная последовательность символов неизвестна.

Рис. 11.5.2. Схема Годарда для объединения адаптивного (слепого) выравнивания и отслеживания фазы несущей

Подход, предложенный Годардом, сводится к использованию критерия, который зависит от уровня МСИ на выходе эквалайзера, но который независим от сигнального созвездия КАМ и фазы несущей. Для примера, функция стоимости, которая не зависит от фазы несущей и имеет свойство, что ее минимум ведет к малой величине СКО, равна

(11.5.28)

где - положительное, вещественное и целое число. Минимизация относительно коэффициентов эквалайзера ведет к выравниванию только сигнальных амплитуд. Основываясь на этих наблюдениях, Годард выбрал более общую функцию сходимости, названной дисперсией порядка , и определяемой так:

(11.5.29)

где - положительная вещественная константа. Как и в случае , мы видим, что не зависит от фазы несущей. Минимизация по коэффициентам эквалайзера можно выполнить рекуррентно согласно алгоритму скорейшего спуска

(11.5.30)

где - параметры размера шага. Дифференцируя и применяя операцию усреднения, мы получаем следующий алгоритм типа НК для настройки коэффициентов эквалайзера:

(11.5.31)

а оптимальный выбор дает

(11.5.32)

Как ожидалось, рекуррентное соотношение (11.5.31) для не требует знания фазы несущей. Отслеживание фазы несущей можно выполнить по варианту управления решениями согласно (11.5.27).

Особенно важен случай, когда , который ведет к относительно простому алгоритму:

(11.5.33)

где - выход решающего устройства, использующего , и

(11.5.34)

Сходимость алгоритма (11.5.33) была показана в статье Годарда (1980). Первоначально коэффициенты эквалайзера выбирается нулевыми, исключая коэффициент центральной (опорной) ячейки, который выбирается согласно условию

(11.5.35)

которое является достаточным, но не необходимым для сходимости алгоритма. Результаты моделирования, выполненные Годардом на моделях телефонных каналов с типичными частотными характеристиками при скоростях передачи 7200...12000 бит/с, указывает на то, что алгоритм (11.5.33) хорошо реализуется и ведёт к сходимости на интервале 5000...20000 итераций, в зависимости от сигнального созвездия. Первоначально, до выравнивания, глазковая диаграмма была закрыта. Число итераций, требуемых для сходимости, примерно на порядок величины больше, чем число, требуемое для выравнивания канала с известной обучающей последовательностью. Никаких существенных трудностей не возникает при использовании алгоритма с управлением решениями для оценивания фазы в (11.5.33) для начала процесса настройки эквалайзера.