11.5.1. Слепое выравнивание, основанное на критерии максимального правдоподобия
Удобно использовать эквивалентную модель канала с дискретным временем, описанную в разделе 10.1.2. Напомним, что выход этой модели канала с МСИ равен
(11.5.1)
где
- коэффициенты эквивалентного канала с дискретным временем,
представляет информационную последовательность, а
последовательность отсчетов белого гауссовского шума. Для блока из
принимаемых сигнальных точек совместная ФПВ (вектора
) при условии известного вектора импульсной характеристики канала
и известного вектора данных
, равен
(11.5.2)
Совместные максимально правдоподобные оценки
и
- это такие значения этих векторов, которые максимизирует совместную ФПВ
или, что эквивалентно, это величины
и
, которые минимизируют показатель экспоненты. Таким образом, максимально правдоподобное решение определяется минимумом по
и
метрики
(11.5.3)
где матрица
называется матрицей данных и определяется так
(11.5.4)
Мы сделаем несколько наблюдений. Прежде всего заметим, что, когда вектор данных
(или матрица данных
) известен, как в случае, когда на приеме используется обучающая последовательность, максимально правдоподобная оценка импульсной характеристики канала, полученная минимизацией (11.5.3) по
, равна
(11.5.5)
С другой стороны, когда импульсная характеристика канала известна, оптимальной МП детектор для последовательности данных
осуществляет поиск по решётке (или поиск по дереву), используя алгоритм Витерби для канала с МСИ.
Если не известны как
так и
минимизацию показателя качества
можно выполнить совместно по
и
. Альтернативно
можно оценить по ФПВ
, которую можно получить усреднением
по всем по возможным последовательностям данных
(11.5.6)
где
- вероятность последовательности
,
, а
- размер символьного созвездия.
Оценка канала, основанная на усреднении последовательностей данных. Как указанно в приведенном выше обсуждении, когда
и
не известны один из подходов сводится к оценке импульсной характеристики
после усреднения ФПВ
по всем последовательностям данных. Таким образом, имеем
(11.5.7)
Затем, оценка
, которая максимизирует
определяется уравнения
(11.5.8)
Следовательно, оценку
можно выразить так:
(11.5.9)
где функция
определяется так
(11.5.10)
Результирующее решение для оптимального
обозначим
.
Уравнение (11.5.9) является нелинейным уравнением для оценки импульсной характеристики канала при заданном векторе принимаемого сигнала
. В общем, трудно получить оптимальное решение непосредственным решением (11.5.9). С другой стороны относительно легко разработать численный метод для рекуррентного решения
. В частности, можем написать
(11.5.11)
Когда
получено из решения (11.5.9) или (11.5.11),, мы можем просто использовать эту оценку при минимизации метрики
, определённой (11.5.3), по всем возможным последователям данных. Поскольку
- это последовательность, которая минимизирует
по
.
Обсуждаемый алгоритм имеет два главных недостатка. Первый – это то, что рекуррентная обработка (11.5.11) для нахождения
в вычислительном отношении сложна. Второй и, вероятно, более важный, - оценка
не так хороша по сравнению с максимально правдоподобной оценкой
, которая получается, когда последовательность
известна. Следовательно, качество слепого эквалайзера (с алгоритмами Витерби), основанного на оценке
хуже, чем того, который основан на
. Ниже мы рассмотрим совместные оцениватели канала и данных.
Совместная оценка канала и данных. Здесь мы рассмотрим совместную оптимизацию показателя качества
, определяемого (11.5.3). Поскольку элементы вектора импульсной характеристики канала
непрерывные, а элементы вектора данных
дискретные, возможный подход сводится к определению максимально правдоподобной оценки
для каждой возможной последовательности данных, которая минимизирует
для каждой соответствующей оценки канала. Итак оценка канала, соответствующая
-ой последовательности данных
, равна
(11.5.13)
Для
-й последовательности данных метрика
равна
(11.5.14)
Затем из ансамбля
возможных последовательностей мы выберем последовательность данных, которая минимизирует функцию цены в (11.5.14), то есть мы определяем
(11.5.15)
Подход, описанный выше, является исчерпывающим исследовательским вычислительным методом с вычислительной сложностью, которая растет экспоненциально с длиной блока данных. Мы можем выбрать
и тогда мы будем иметь одну оценку канала для каждой из
выживших последовательностей. С этого момента можно продолжить поиск, сохраняя отдельную оценку канала для каждого выжившего пути при осуществлении поиска по алгоритму Витерби по решетке.
Подобный подход был предложен Сешадри (1991). В сущности, алгоритм Сешадри – это разновидность обобщенного алгоритма Витерба (ОАВ), который сохраняет
наилучших оценок переданной последовательности в каждом состоянии решётки и наилучших оценок переданной последовательности в каждом состоянии решетки и соответствующие оценки канала. В ОАВ Сешадри поиск идентичен обычному АВ, начиная с
-го шага по решетке, т.е. начиная с точки, когда обработана принятая последовательность
. Так начиная с
-го шага формируется исчерпывающий поиск. С каждой последовательностью данных
связана соответствующая оценка канала
. Начиная с этого шага, поиск модифицируется с тем, чтобы сохранить канала
. Начиная с этого шага, поиск модифицируется с тем, чтобы сохранить
выживших последовательностей и соответствующих оценок канала на состояние вместо только одной последовательности на состояние. Таким образом, ОАВ используется для обработки принимаемой сигнальной последовательности
. Оценки канала улучшаются рекуррентно на каждом шаге, используя алгоритм минимума СКО для дополнительного сокращения вычислительной сложности. Результаты моделирования, данные в статье Сешарди (1991) , указывают на то, что этот ОАВ для реализации слепого выравнивания работает хорошо при умеренном отношении сигнал/шум с
. Затем имеется умеренный рост вычислительной сложности ОАВ по сравнению с обычным АВ. Однако здесь имеется дополнительные вычисления, связанные с оцениванием и обновлением оценок канала
, связанных с каждой из выживших оценок данных.
Альтернативный алгоритм совместного оценивания, который избегает вычисления наименьших квадратов при оценивании канала, был предложен Зервасом и др. (1991). В этом алгоритме порядок формирования совместной минимизации показателя качества
обратный. Это значит, сначала выбирается импульсная характеристика канала, скажем
, а затем используется обычный АВ для нахождения оптимальной последовательности данных для этой импульсной характеристики канала. Затем мы можем модифицировать
до
и повторить оптимизацию по последовательностям данных
.
Основываясь на этом общем подходе Зервас разработал новый МП алгоритм слепого выравнивания, который назван алгоритмом с квантованием канала. Алгоритм работает по решетке пространства канала, причем он становится лучше и лучше при использовании МП правила для сохранения оцененного канала в окрестности действительного неизвестного канала. Этот алгоритм приводит к эффективной параллельной реализации, а его требования к памяти такие же, как в АВ.