ЗАДАЧИ

11.1. Эквивалентный канал с дискретным временем с белым гаусовским шумом показан на рис. Р11.1.

Рис. Р.11.1

a) Предположим, что мы используем линейный эквалайзер для выравнивания канала. Определите коэффициенты ячеек для трехъячеечного канала. Для упрощения расчетов считается, что АБГШ имеет нулевое среднее.

b) Коэффициенты ячеек линейного эквалайзера в (a) определяется рекуррентно по алгоритму

где - вектор градиента, а - размер шага ячейки. Определите диапазон возможных величин , чтобы гарантировать сходимость рекуррентного алгоритма. Для упрощения вычислений считайте, что АБТШ имеет нулевое среднее.

c) Определите веса ячеек ЭОСР с двумя ячейками в цепи прямой связи и одной в цепи обратной связи. Для упрощения вычисления считайте, что АБТШ имеет нулевое среднее.

11.2. Ссылаясь на задачу 10.18, ответьте на следующие вопросы.

a) Определите максимальное значение , которую можно использовать, чтобы обеспечить сходимость коэффициентов эквалайзера в процессе работы в адаптивном режиме.

b) Какова зависимость от дисперсии собственного шума, создаваемого трех ячеечным эквалайзером, когда он работает в адаптивном режиме. Предположим, что желательно ограничить дисперсию собственного шума до 10% от минимального СКО в трех ячеечном эквалайзере, когда . Какую величину вы выберете?

c) Если оптимальные коэффициенты эквалайзера вычисляются рекуррентно методом крутого спуска, рекуррентное уравнение можно записать в виде

где - единичная матрица. Уравнение определяет систему из трех связанных разностных уравнений первого порядка. Они могут быть развязаны линейным преобразованием, которое диагонализирует матрицу . Это значит , где - диагональная матрица, имеющая собственные значения матрицы , как свои диагональные элементы, а является унитарной матрицей. Которую можно получить из вашего ответа на задачу 10.18(b). Пусть определяет устойчивое решение для . Через нее оцените и, таким образом покажите, что ваш ответ соответствует результату, полученному 10.18(a).

11.3. Если используется периодическая псевдослучайная последовательность длины для настройки коэффициентов ячеечного линейного эквалайзера, вычисления можно выполнить эффективно в частотной области путем использования дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Предположим, что это последовательность из принятых отсчетов (взятых со скоростью передачи символов) на входе эквалайзера. Тогда вычисление коэффициентов эквалайзера выполните так

a) Вычислите ДПФ для одного периода входной последовательности эквалайзера

b) Вычислите желательный спектр эквалайзера

где - предварительно вычисленное ДПФ обучающейся последовательности.

c) Вычислите обратное ДПФ от для получения коэффициентов эквалайзера . Покажите, что эта процедура в отсутствие шума дает эквалайзер, чья частотная характеристика в отсчетных точках обратна отсчетам сложенной частотной характеристики канала

11.4. Покажите, что вектор градиентов при минимизации СКО можно выразить так

где ошибка , а оценка , то есть удовлетворяет условию

11.5. Алгоритм НК с пошаговой утечкой, предложенный в статье Гитлина и других (1982), можно выразить так

где , - размер шага, а - вектор данных в момент . Определите условие для сходимости среднего значения

11.6. Рассмотрите случайный процесс

где - известная последовательность, - случайная величина с и . Процесс - последовательность белого шума с функцией корреляции

Определите коэффициенты линейного оценивателя для :

которые минимизируют СКО

11.7. Цифровой трансверсальный фильтр можно реализовать через отсчеты посредством системной функции (см. задачу 10.25)

где - гребенчатый фильтр, - параллельный блок резонаторов, а - значение дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

a) Предположим, что эта структура реализована как адаптивный фильтр использующий алгоритм НК для настройки параметров фильтров (ДПФ). Дайте обновляющее уравнение для этих параметров. Нарисуйте структуру адаптивного фильтра.

b) Предположим, что эта структура использована как адаптивный канальный эквалайзер, в котором желательный сигнал

При такой форме желательного сигнала, какое преимущество имеет адаптивный алгоритм НК для коэффициентов ДПФ относительно прямой структурной формы с коэффициентами (см. прокис, 1970).