2.2.4. Теорема отсчётов для частотно-ограниченных случайных процессов

Напомним, что детерминированный сигнал  с преобразованием Фурье называется частотно-ограниченным, если  для , где  – наивысшая часто содержащаяся в . Такой сигнал однозначно определяется отсчётами , взятыми скоростью  отсч./с. Минимальная скорость  отсч./с называется скоростью Найквиста. Представление сигнала через отсчёты, взятые со скоростью ниже скорости Найквиста, ведёт к ошибкам.

Частотно-ограниченный сигнал, представленный отсчётами, взятыми со скорости Найквиста, может быть восстановлен по своим отсчётам интерполяционной формулой

,                         (2.2.35)

где  – отсчёты , взятые в моменты времени , . Эквивалентным образом  можно реконструировать путём пропускания отсчет дискретизированного сигнала через идеальный ФНЧ с импульсной характеристикой . Рисунок 2.2.4 иллюстрирует процесс восстановления сигнала основанный на идеальной интерполяции.

Рис. 2.2.4. Восстановление сигнала, основанное на идеальной интерполяции

Стационарный случайный процесс  называется частотно-ограниченным, если его спектральная плотность мощности  для . Поскольку  является преобразованием Фурье автокорреляционной функции , то следует представление для :

,                           (2.2.36)

где  - отсчёты , взятые при , .

Теперь, если  - частотно-ограниченный стационарный случайный процесс, то  можно представить в виде

,                         (2.2.37)

где  - отсчёты , взятые , .

Это – представление стационарного случайного процесса через его отсчёты.

Отсчёты являются случайными величинами, которые описываются статистически соответствующей СФПВ. Представление (2.2.37) легко устанавливается доказательством того (задача 2.17), что

.         (2.2.38)

Следовательно, равенство между представлением случайного процесса  через его отсчёты и самого процесса понимается в том смысле, что средний квадрат ошибки равен нулю.