2.2.5. Случайные сигналы и системы с дискретным временем

Описание случайных сигналов с непрерывным временем, данное выше, можно легко распространить на случайные сигналы с дискретным временем. Такие сигналы обычно получаются путем равномерной дискретизации во времени случайного процесса с непрерывным временем.

Случайный процесс с дискретным временем  состоит из множества реализаций последовательностей . Статистические свойства  сходны с теми, которые пределены для , с тем ограничением, что  теперь целая переменная (дискретное время). Следовательно, -й момент для  определяется как

                                                   (2.2.39)

и автокорреляционная последовательность

.                     (2.2.40)

Подобным образом определяется и автоковариационная последовательность

.                                          (2.2.41)

Для стационарного процесса имеем ,  и

,                                                   (2.2.42)

где  - среднее значение.

Как и в случае случайного процесса с непрерывным временем стационарный процесс с. дискретным временем имеет неограниченную энергию, но ограниченную среднюю мощность, которая определяется как

.                                                                   (2.2.43)

Спектральная плотность мощности для случайного стационарного процесса с дискретным временем получается преобразованием Фурье от . Поскольку -последовательность дискретного времени, преобразование Фурье определено в виде

,                                                      (2.2.44)

а обратное преобразование - в виде

.                                                    (2.2.45)

Обратим внимание на то, что спектральная плотность мощности  является периодической с периодом . Другими словами,  для . Это характерно для преобразования Фурье дискретной во времени последовательности такой как .

В заключение рассмотрим отклик линейной стационарной системы с дискретным временем на стационарные случайные входные воздействия. Система характеризуется всей временной области своей импульсной характеристикой  (откликом на единичный отсчет времени), а в частотной области - частотной характеристикой , где

.                                                     (2.2.46)

Отклик системы на стационарный случайный входной сигнал  определяется дискретной сверткой

.                                                      (2.2.47)

Среднее значение выхода системы

,                                            

.                                                           (2.2.48)

где  - передаточная функция системы на нулевой частоте.

Автокорреляционная последовательность для выходного процесса

  (2.2.49)

Это общая форма для автокорреляционной последовательности выхода системы, выраженная через автокорреляционную функцию входа системы и импульсную характеристику системы. Производя преобразования Фурье над  и учитывая (2.2.49), получаем соответствующее соотношение в частотной области

,                                                    (2.2.50)

которое идентично (2.2.27), за исключением того, что в (2.2.50) спектральные плотности мощности  и  и частотная характеристика  являются периодическими функциями частоты с периодом .