2.2.6. Процессы с циклической стационарностью

При обработке сигналов, которые несут цифровую информацию, мы встречаемся со случайными процессами, которые имеют периодически повторяющиеся средние значения. Для конкретности рассмотрим случайный процесс вида

, (2.2.51)

где - последовательность (с дискретным временем) случайных величин со средним для всех и автокорреляционной последовательностью .

Сигнал детерминирован. Случайный процесс представляет сигнал для некоторых различных видов линейной модуляции, которые рассматриваются в гл. 4. Последовательность представляет цифровую информацию источника (символы), которая передается по каналу связи, а определяет скорость передачи информационных символов.

Определим среднее и автокорреляционную функцию . Сначала находим среднее значение

. (2.2.52)

Видим, что среднее меняется во времени, но меняется периодически с периодом . Автокорреляционная функция

(2.2.53)

Снова видим, что

, (2.2.54)

для . Следовательно, автокорреляционная функция также является периодической с периодом .

Такой случайный процесс назван циклостационарным или периодически стационарным. Поскольку автокорреляционная функция процесса зависит от обеих переменных и , его частотное представление требует двухмерного преобразования Фурье.

Поскольку крайне желательно характеризовать такие сигналы их спектральной плотностью мощности, альтернативный подход заключается в вычислении средней во времени за один период автокорреляционной функции, определяемой как

. (2.2.55)

Используя усредненную функцию автокорреляции, мы исключаем зависимость от времени. Теперь преобразование Фурье от дает усредненную спектральную плотность мощности для циклически стационарного случайного процесса. Такой подход позволяет нам упростить характеристику циклически стационарного процесса в частотной области. Таким образом, спектральная плотность мощности определяется как

. (2.2.56)