13.2.4. Генерирование ПШ последовательностей
Генерирование ПШ последовательностей для применения широкополосных сигналов является темой, которая привлекла особое внимание в технической литературе. Мы вкратце обсудим конструкцию некоторых ПШ последовательностей и представим важные свойства автокорреляционной и взаимокорреляционной функций таких последовательностей. Для исчерпывающей трактовки этого вопроса интересующемуся читателю рекомендуется книга Голомба (1967).
Пожалуй, наиболее широко известными двоичными ПШ последовательностями являются последовательности максимальной длины сдвигового регистра, введенные в разделы 8.1.3 в контексте кодирования, и которые снова предлагались для использования как низкоскоростные коды. Последовательность максимальной длины сдвигового регистра, или
-последовательность для краткости, имеет длину
символов и генерируется
ячеечным регистром сдвига с линейной обратной связью, как иллюстрирует рис.13.2.14. Последовательность периодическая с периодом
. Каждый период последовательности содержит
единиц
нулей.
пользователей, был бы равен нулю. Однако ПШ последовательности, используемые различными пользователями, на практике не обладают строгой ортогональностью.
Для конкретности, рассмотрим класс
-последовательностей. Известно (Сарвейт и Пурслей, 1980), что периодическая взаимокорреляционная функция между парой
последовательностей на том, же периоде может иметь относительно большие пики. Таблица 13.2.1 дает пиковые амплитуды
для периодической функции взаимной корреляции между парами
-последовательностей для
. Таблица также показывает число
последовательностей длины
для
. Как мы можем видеть, число
последовательностей длины
быстро растет с
. Мы также видим, что для большинства последовательностей пиковые амплитуды
взаимокорреляционной функции составляют большой процент от пикового значения автокорреляционной функции.
Таблица 13.2.1. Пиковые значения взаимной корреляции m-последовательностей и последовательностей Голда

|

|
Число -последова
тельностей
|
Пиковые значения взаимной корреляции 
|

|

|
/
|
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
|
7
15
31
63
127
255
511
1023
2047
4095
|
2
2
6
6
18
16
48
60
176
144
|
5
9
11
23
41
95
113
383
287
1407
|
0,71
0,60
0,35
0,36
0,32
0,37
0,22
0,37
0,14
0,34
|
5
9
9
17
17
33
33
65
65
129
|
0,71
0,60
0,29
0,27
0,13
0,13
0,06
0,06
0,03
0,03
|
Такие большие значения для взаимных корреляций нежелательны в CDMA. Хотя возможно выбрать малое подмножество
последовательностей, которые имеют относительно малые значения пиков взаимной корреляции, число последовательностей в этом подмножестве слишком мало для применений CDMA.
ПШ последовательности с лучшими свойствами периодической функции взаимной корреляции, чем
последовательности, даны Голдом (1967, 1968) и Касами (1966). Они образуются из
последовательностей, как описано ниже.
Голд и Касами доказали, что некоторые пары
последовательностей длины
имеют взаимно корреляционную функцию с тремя уровнями
, где
(13.2.73)
Для примера, если
, тогда
и три возможные значения периодической взаимокорреляционной функции равны {-7,-65,63}. Таким образом, максимальное значения (по модулю) взаимной корреляции пары
-последовательностей равно 65, в то время как пик для семейства 60 возможных последовательностей, 40-56 генерируемых 10-разрядным регистром сдвига с различными соединениями обратной связи равен
- примерно шестикратная разница в пиковых значениях. Две
-последовательности длины
с периодической взаимокорреляционной функцией, которая принимает значения
называют предпочтительными последовательностями.
Из пары предпочтительных последовательностей, скажем,
и
, мы конструируем ансамбль последовательностей длины
и, взяв сумму по
последовательности
и
циклически сдвинутых версий
или наоборот. Таким образом, мы получаем
новых периодических последовательностей с периодом
Мы можем также включить в ансамбль исходные последовательности
и
и, таким образом, имеем
последовательностей.
последовательностей, сконструированных таким образом, называют последовательностями Голда.
Пример 13.2.4. Рассмотрим генерацию последовательностей Голда длины
. Как указано выше, для
пик взаимной корреляции равен
.
Две предпочтительные последовательности, которые найдены Питерсоном и Уэлдоном (1972), описываются полиномами
,
.
Регистры сдвига для генерирования двух
-последовательностей и соответствующих последовательностей Голда показаны на рис.13.2.15. В этом случае имеется 33 различных последовательностей, соответствующие 33 различным взаимным сдвигам двух
-последовательностей. Из них 31 последовательность не является последовательностями максимальной длины.



Рис. 13.2.15. Генерирование последовательности Голда длиной 31
Исключая последовательности
и
, ансамбль последовательностей Голда не включает в себя последовательности максимальной длины
регистра сдвига. Следовательно, их автокорреляционные функции не являются двоичными. Голд (1968) показал, что взаимокорреляционная функция любой пары последовательностей ансамбля
последовательностей Голда является троичной с возможными значениями
,
где
определяется (13.2.73). Аналогично, пиковые значения автокорреляционной функции для последовательностей Голда принимают значения из множества
. Таким образом, пиковые значения автокорреляционной функции ограничена сверху
.
Величины пиков автокорреляционной функции и пиков взаимокорреляционной функции, т.е.
, для последовательностей Голда даны в табл. 13.2.7. Также даны значения, нормированные к
.
Интересно сравнить пиковые значения взаимной корреляции последовательностей Голда с известной нижней границей взаимной корреляции между произвольной парой двоичных последовательностей периода
в ансамбле из
последовательностей. Нижняя граница, найденная Уолшем (1974), для
равна
(13.2.74)
которая хорошо аппроксимируется, для больших
и
, как
. Для последовательностей Голда
и, следовательно, нижняя граница
. Эта граница ниже на
для нечётных
и на 2 для чётных т относительно
для последовательностей Голда.
Процедура, похожая на использованную при генерировании последовательностей Голда, может генерировать более узкий ансамбль из
двоичных последовательностей периода
, когда
четно. В этой процедуре мы начинаем с
последовательности
и формируем двоичную последовательность
, взяв каждый
символ из
. Таким образом, последовательность
формируется путём децимации
через
. Можно показать, что полученная последовательность
периодическая с периодом
. Для примера, если
, то период а равен
, а период
равен 31. Следовательно, если мы наблюдаем 1023 символа последовательности
мы можем видеть 33 повторений 31 символьных последовательностей. Теперь, взяв
символа из последовательностей
и
, мы формируем новый ансамбль последовательностей путем суммирования по
символов из
и символов из
и всех
циклических сдвигов символов из
. Включая
в ансамбль, мы получаем ансамбль из
двоичных последовательностей длины
. Их называют последовательностями Касами. Автокорреляционная и взаимокорреляционная функции этих последовательностей принимает значения из ряда.
Следовательно, значение максимума взаимной корреляции для любой пары последовательностей этого ансамбля равно
, (13.2.75)
Эта величина
удовлетворяет нижней границе Уолша для ансамбля из
последовательностей длины
. Таким образом, последовательности Касами оптимальны.
Кроме хорошо известных последовательностей Голда и Касами, имеются другие двоичные последовательности, подходящие для применения в CDMA. Интересующемуся читателю рекомендуем работы Шольца (1979), Опсена (1972) и Сарвейта и Пурслея (1980).
В заключение хотим отметить, что хотя мы обсудили периодические взаимокорреляционные функции между парами периодических последовательностей много практических систем CDMA могут использовать длительности информационных символов, которые составляют только части периодических последовательностей. В таких случаях важным является частично-периодическая взаимная корреляция между двумя последовательностями. Определенное число статей обсуждает эти проблемы, включая статьи Линдхольма (1968), Вайнберга и Вольфа (1970), Фридриксона (1975), Бекира и др. (1978) и Пурслея (1979).