14.4.1. Двоичные сигналы

Теперь определим вероятность ошибки для двоичной системы связи с разнесением. Начнем с описания математической модели для системы связи с разнесением. Прежде всего предположим, что имеется  каналов разнесения с сигналами, носящими одинаковую информацию. Каждый из каналов считается неселективным по частоте, с медленными замираниями и с распределенной по Релею огибающей сигнала. Процессы замираний в  каналов разнесения считаются статистически независимыми. Сигнал в каждом канале искажается белым гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Шумовые процессы в  каналах считаются взаимно статистически независимыми и с одинаковыми автокорреляционными функциями. Эквивалентные низкочастотные принимаемые сигналы для  каналов можно представить в виде

       (14.4.1)

где  представляют множители ослабления и фазовые сдвиги в  каналах,  обозначает -й сигнал переданный по -му каналу, a  обозначает аддитивный белый гауссовский шум в -oм канале. Все сигналы ансамбля  имеют одинаковую энергию.

Оптимальный демодулятор для сигнала в -м канале состоит из двух согласованных фильтров. Один имеет импульсную характеристику

                            (14.4.2)

а второй имеет импульсную характеристику

                           (14-4.3)

Конечно, если используется двоичная ФМ, то . Следовательно, для двоичной ФМ требуется один согласованный фильтр. После согласованных фильтров следует устройство сложения, в котором формируются две величины для принятия решения. В устройстве сложения, обеспечивающие наилучшее качество, выход каждого согласованного фильтра умножается на соответствующий комплексный (сопряжённый) канальный множитель . Цель этого умножения - компенсировать фазовый сдвиг в канале и взвесить сигналы множителем, пропорциональным уровню сигнала. Таким образом сильный сигнал получает больший вес, чем слабый. После того, как операция комплексного взвешивания закончена, формируются две суммы. Одна содержит взвешенный выход фильтров и соответствует передаче 0. Вторая содержит взвешенный выход фильтров и соответствует передаче 1. Такое оптимальное сложение называют сумматором максимальных отношений Бреннана (1959). Конечно, реализация такого сумматора основана на предположении, что канальные ослабления  и фазовые сдвиги  известны точно. (Влияние шума оценок на вероятность ошибки многопозиционной ФМ рассмотрено в приложении С). Блок-схема, иллюстрирующая модель двоичной системы связи, описанной выше, показана на рис. 14.4.1

Рис. 14.4.1.Моделъ двоичной цифровой системы связи с разнесением

Сначала рассмотрим качество двоичной ФМ с -кратным разнесением. Выход сумматора максимальных отношений можно выразить через единственную величину решения в виде

       (14.4.4)

где  означает реальную часть от комплексной шумовой гауссовской случайной величины

                                             (14.4.5)

Будем следовать подходу, использованному в разделе 14.3 при расчете вероятности ошибки. Это значит, что сначала находим вероятность ошибки при фиксированных значениях множителей ослабления . Затем эта условная вероятность ошибки усредняется по .

Релеевские замирания. При фиксированных значениях параметров  величина для решения  является случайной гауссовской со средним

                              (14.4.6)

и дисперсией

                             (14.4.7)

При таких значениях среднего и дисперсии вероятность того, что , равна

                          (14.4.8)

где ОСШ на  определяется так

                     (14.4.9)

где  - мгновенные ОСШ в -м канале. Теперь мы должны определить ФПВ . Эту функцию существенно проще определить через характеристическую функцию . Сначала заметим, что при  имеет хи-квадрат плотность вероятности, определенную (14.3.5). Характеристическую функцию  легко найти

                                         (14.4.10)

где  среднее значение ОСШ на канал, которое считается одинаковым для всех каналов. Это значит, что

                                 (14.4.11)

независимо от . Это предположение используется для всех результатов этого раздела. Поскольку замирания по всем  каналам статистически независимы,  статистически независимы и, следовательно, характеристическая функция суммы равна результату (14.4. 10) в -й степени, т.е.

                    (14.4.12)

Но эта характеристическая функция случайной величин с хи-квадрат распределением с  степенями свободы. Из (2.1.107) следует, что ФПВ  равна

                     (14.4.13)

Заключительная ступень расчета сводится к усреднению условной вероятности ошибки (14.4.8) по статистике замираний, т.е. к вычислению интеграла.

                 (14.4.14)

Имеется замкнутая форма решения (14.4. 14), которую можно выразить так

            (14.4.15)

где по определению

                                       (14.4.16)

Когда средняя ОСШ на канал  удовлетворяет условию , слагаемое , а слагаемое . Далее

                   (14.4.17)

Следовательно, когда  достаточно велико (больше 10 дБ) вероятность ошибки (14.4.15) можно выразить так

                                   (14.4.18)

Из (14.4.18) мы видим, что вероятность ошибки меняется как  в степени . Таким образом при разнесении вероятность ошибки уменьшается обратно пропорционально -й степени ОСШ.

Получив вероятность ошибки для двоичной ФМ при разнесении, теперь обратим наше внимание на двоичную ортогональную ЧМ при когерентном детектировании. В этом случае, две величины для решения на выходе сумматора максимальных отношений можно выразить так

                   (14.4.19)

причём мы предположили, что был передан сигнал , a  и  являются двумя ансамблями шумовых компонент на выходе согласованных фильтров.

Вероятность ошибки равно вероятности того, что . Этот расчет подобен расчету для ФМ, исключая того, что мы теперь имеем удвоение мощности шума. Следовательно, когда  фиксированы, условная вероятность ошибки равна для ЧМ

                              (14.4.20)

Используем (14.4. 13) для усреднения  по статистике замираний. Не удивительно, что мы найдем, что результат (14.4. 15) остается в силе с заменой  на . Т.е., (14.4.15) определяет вероятность ошибки для двоичной ортогональной ЧМ при когерентном детектировании с параметром , равным

                                      (14.4.21)

Далее, для больших значений  вероятность  можно выразить так

                                   (14.4.22)

Сравнивая (14.4.22) и (14.4.18), видим, что разница в 3 дБ по ОСШ между ФМ и ортогональной ЧМ при когерентном детектировании, существующая в канале без замираний и без рассеяния, остается такой же в канале с замираниями.

В проведенном выше обследовании двоичных систем ЧМ и ФМ при когерентном детектировании, мы предположили, что на приеме используются свободные от шума оценки комплексных канальных параметров . Поскольку канал меняется во времени параметры  нельзя оценить точно. Действительно, в некоторых каналах изменения во времени могут быть достаточно быстрыми и препятствовать применению когерентного детектирования. В этом случае мы рассмотрим использование либо ДФМ или ЧМ с некогерентным детектированием.

Сначала рассмотрим ДФМ. Чтобы использовать ДФМ изменения в канале должны быть достаточно медленными для того, чтобы фазовые сдвиги  He менялись заметно на двух соседних сигнальных интервалах. В нашем анализе мы предположим, что канальные параметры  остаются постоянными на два соседних сигнальных интервала. Таким образом сумматор для двоичных ДФМ выдает на выходе величину для решения

(14.4.23)

где  и  означают принимаемые шумовые компоненты на выходе согласованных фильтров на двух соседних сигнальных интервалах. Вероятность ошибки равна вероятности того, что . Поскольку  - это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, обсуждаемой в приложении В, вероятность ошибки можно найти непосредственно из результатов, данных в этих приложениях. Альтернативно, мы можем использовать вероятность ошибки, определяемую (12.1.3), для сигналов двоичной ДФМ, передаваемых по  неизменных во времени каналам, и усреднить её по релеевской статистике замирающего сигнала. Таким образом мы имеем условную вероятность ошибки

                     (14.4.24)

где  определяется (14.4.9) и

                                    (14.4.25)

Усреднение  с учетом ФПВ , определяемый (14.4.13), легко приводит к результату

    (14.4.26)

Отметим, что результат (14.4.26) можно преобразовать к виду (14.4.15), который применим также для когерентной ФМ и ЧМ. Для двоичной ДФМ параметр  в (14.4.15) определяется так (смотри приложение С)

                                          (14.4.27)

Для  вероятность ошибки в (14.4.26) можно аппроксимировать выражением

                                   (14.4.28)

Последний тип сигналов, который мы рассмотрим в этом разделе, - это сигналы двоичной ЧМ с некогерентным детектированием. Такие сигналы подходят как при медленных, так и при быстрых замираниях. Однако анализ качества, проведенный ниже, основывается на предположении, что замирания достаточно медленные, так что канальные параметры  остаются постоянными на сигнальном интервале. Сумматоры многоканальных сигналов являются сумматорами квадратов выходов согласованных фильтров. Их выходы определяют две величины для решения

               (14.4.29)

причём считается, что  содержит полезный сигнал. Вероятность ошибки это вероятность того, что . Как и в случае ДФМ, мы имеем выбор из двух подходов в определении качества ЧМ при квадратичном сложении. В разделе 12.1 мы указали, что выражение для вероятности ошибки двоичной ЧМ при квадратичном сложении сигналов такое же как для ДФМ с заменой  на . Это значит, что двоичная ЧМ требует дополнительно увеличение ОСШ на 3 дБ для достижения неизменного качества в канале с постоянными параметрами. Следовательно, условная вероятность ошибки ДФМ, определяемая (14.4.24), остается при квадратичном сложении справедливой и для ЧМ если заменить  на . Результат, полученный при усреднении (14.2.24) по статистике замираний и даваемый (14.4.26) также применим для ЧМ с заменой  на . Но мы также установили прежде, что (14.4.26) и (14.4.15) эквивалентны. Следовательно вероятность ошибки, даваемое (14.4.15) также справедлива при квадратичном сложении ЧМ с параметром , определяемом так

                             (14.4.30)

Альтернативный подход, использованный Пирсом (1958) для получения вероятности того, что  так же прост, как метод, описанный выше. Он начинается с ФПВ  и . Поскольку комплексные случайные величины ,  и  распределены по Гауссу с нулевыми средними, величины для решения  и  распределены согласно хи-квадрат распределению с  степенями свободы. Это значит

                        (14.4.31)

где

.

Аналогично

                       (14.4.32)

где

.

Вероятность ошибки и есть вероятность того, что . Читателю оставляется в качестве упражнения показать, что эта вероятность определяется (14.4.15), где  определяется (14.4.30).

Если , вероятность ошибки для ЧМ с квадратичным детектированием можно упростить, как мы это делали раньше для других двоичных многоканальных систем. В этом случае вероятность ошибки хорошо аппроксимируется выражением

                          (14.4.33)

Вероятность ошибки для ФМ, ДФМ, ортогональной ЧМ с некогерентным детектированием иллюстрируется на рис. 14.4.2 при .

Качество определяется как функция от среднего ОСШ на бит , которое связано со средним ОСШ на канал  формулой

                                            (14.4.34)

Результаты рис.14.4.2 ясно иллюстрируют выгоду разнесения как средство для преодоления тяжелых потерь в ОСШ, вызванные замираниями.

Рис. 14.4.2. Качество двоичных сигналов с разнесением