14.4.3. М-позиционные ортогональные сигналы

В этом подразделе мы определим качество -ичной ортогональной системы сигналов, передаваемых по каналу с релеевскими замираниями, и оценим выгоду сигналов с большим объёмом алфавита  относительно двоичных. Ортогональные сигналы можно рассматривать как сигналы -ичной ЧМ с минимальным разносом частот , где  — сигнальный интервал. Сигнал с той же информацией передается по  разнесенным каналам. Каждый разнесенный канал считается частотно-неселективным и с медленными замираниями, а процесс замираний по  каналам считается статистически взаимно независимым. В каждом канале сигнал искажается аддитивным белым гауссовским шумом. Считаем, что эти аддитивные шумовые процессы статистически независимы.

Хотя относительно легко сформулировать структуру и выполнить анализ качества сумматора с максимальным отношением для разнесенных каналов с -ичными сигналами, более вероятно, что разработчик выберет некогерентное детектирование. Следовательно, мы обратим наше внимание на квадратичное сложение разнесенных сигналов. Выход сумматора, содержащего сигнал, равен

                                          .(14.4.41)

в то время как выходы остальных сумматоров

                               (14.4.42)

Вероятность ошибки равно 1 минус вероятность того, что  для . Поскольку сигналы ортогональны, а аддитивный шумовой процесс в отдельных каналах разнесения статистически независим, случайные величины  также статистически независимы. ФПВ для  определяется (14.4.31). С другой стороны  одинаково распределены с функцией плотности вероятности, определяемой (14.4.32). При фиксированном , совместная вероятность  равна вероятности  в степени . Теперь

     (14.4.43)

где . Чтобы получить вероятность правильного приема, -я степень от этой вероятности затем усредняется по .

Если мы вычтем этот результат из 1, мы получим вероятность ошибки в виде, данном Ханом (1962):

    (14.4.44)

где  - среднее ОСШ на канал разнесения. Среднее ОСШ на бит .

Интеграл в (14.4.44) можно выразить в замкнутой форме через двойную сумму. Это можно показать, если написать

                           (14.4.45)

где  - набор коэффициентов. Тогда (14.4.44) приводится к виду

      (14.4.46)

Если нет разнесения , вероятность ошибки (14.4.46) приводит к простой форме

                                             (14.4.47)

Вероятность ошибки символа  можно преобразовать в эквивалентную вероятность ошибки на бит, умножая  на .

Хотя выражение для  (14.4.46) находится в замкнутой форме, оно затруднительно для вычислений для больших значений  и .

Альтернативно можно вычислить  численным интегрированием, используя выражение (14.4.44). Результаты, иллюстрируемые ниже на графиках, были получены из (14.4.44).

Сначала рассмотрим вероятность ошибки для -ичной ортогональной системы сигналов с квадратичным сложением, как функция от порядка разнесения. Рис. 14.4.5 и 14.4.6 иллюстрируют характеристики  для  и 4, как функция , когда суммарное ОСШ, определенное как , остается фиксированным. Эти результаты указывают на то, что имеется оптимальный порядок разнесения для каждого . Это значит, что для любого  имеется величина , при которой  минимальна. Тщательное исследование этих графиков обнаруживает, что минимум  получается, когда . Оказывается, что этот результат не зависит от объёма алфавита .

Рис.14.4.5 Характеристика двоичных ортогональный сигналов при квадратичном детектировании с разнесением

Во-вторых, рассмотрим вероятность ошибки  как функцию от среднего ОСШ на бит, определяемого . (Если мы интерпретируем -ичную ортогональную ЧМ как форму кодирования, а порядок разнесения  как число повторений символа в коде с повторением, тогда , где - скорость кода). Зависимость  от  для  и  показаны на рис. 14.4.7.

Рис. 14.4.6. Характеристика ортогональных сигналов с  при квадратичном детектировании с разнесением

Эти результаты иллюстрируют выигрыш в качестве по мере роста  и . Сначала заметим, что достаточный выигрыш в качестве получается при увеличении . Второе, мы заметим, что выигрыш в качестве при росте  относительно небольшой при малых . Однако при увеличении  выигрыш, получаемый с ростом , также растёт. Поскольку увеличение любого из этих параметров влияет на полосу частот, так как

то результаты, показанные на рис. 14.4.7, указывает на то, что увеличение  более эффективно, чем соответствующее увеличение .

Как мы увидим в разделе 14.6, кодирование является эффективным по полосе частот средством для получения разнесения сигнала, переданного по каналу с замираниями.

Граница Чернова. Перед окончанием этого раздела, мы определим верхнюю границу Чернова для вероятности ошибки двоичной ортогональной системы сигналов с разнесением -гo порядка, которое будет полезным в нашем обсуждении кодирования для каналов с замираниями, что является предметом раздела 14.6. Наша исходная точка это выражение для двух величин для решения  и , определяемых (14.4.29), где  содержит слагаемые сигнала и шума при квадратном суммировании, а  содержит только слагаемые шума при квадратичном суммировании. Вероятность ошибки двоичной системы сигналов, обозначенная здесь , равна

     (14.4.48)

где случайная величина  определена так

                    (14.4.49)

Рис. 14.4.7 Помехоустойчивость передачи с использованием -позиционных ортогональных сигналов при - кратном разнесении

Фазовые слагаемые  в , опущены, так как они не влияют на качество при квадратичном детектировании.

Пусть  означает единичную функцию. Тогда вероятность ошибки в (14.4.48) можно выразить в виде

                                                          (14.4.50)

Согласно разделу 2.1.5, граница Чернова ограничивает сверху единичную функцию экспоненциальной функцией, т.е.

                                                     (14.4.51)

где параметр , оптимизируется для получения плотной границы. Таким образом, мы имеем

                                               (14.4.52)

Если вместо случайной величины  подставим (14.4.49) и учтём, что случайные слагаемые в сумме статистически независимы, получаем результат

                   (14.4.53)

Ho

                                   (14.4.54)

и

                  (14.4.55)

где  a  - среднее ОСШ на канал разнесения. Заметим, что  и  не зависят от , т.е. параметры аддитивного шума в  разнесённых каналах, как и его распределение, одинаковы. Следовательно (14.4.53) приводит к

     (14.4.56)

Дифференцируя правую часть (14.4.56) по , находим, что верхняя граница минимизируется, если

                                                                 (14.4.57)

Подстановка (14.4.57) для  в (14.4.56) даёт верхнюю границу Чернова в виде

                                               (14.4.58)

Интересно отметить, что (14.4.58) можно также выразить так

                                              (14.4.59)

где  - вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов в канале с замираниями без разнесения.

Сравнение границы Чернова (14.4.58) с точным, значением вероятности ошибки для двоичной ортогональной системы сигналов, при квадратичном сложении по  каналам разнесения, определяемым формулой

      (14.4.60)

обнаруживает достаточную плотность найденной границы. Рис. 14.4.8 иллюстрирует сравнение. Мы видим, что верхняя граница Чернова отличается примерно на 6 дБ от точных значений вероятности ошибки при , но по мере роста  она становится плотнее. Для примера, разница между границей и точным значением вероятности ошибки равна примерно 2,5 дБ при .

Рис. 14.4.8. Сравнение границы Чернова с точным значением вероятности ошибки

В заключение мы напомним, что вероятность ошибки для -ичной ортогональной системы сигналов с разнесением можно оценить сверху объединённой границей

                                     (14.4.61)

где  определяется или точным значением (14.4.60), или границей Чернова (14.4.58).