14.6.5. Синтез систем, основанный на предельной скорости

В приведенном обсуждении кодированных сигналов мы продемонстрировали эффективность различных кодов для каналов с замираниями. В частности мы видели выгоду декодирования мягких решений и каскадного кодирования как средства для увеличения минимальных расстояний и, следовательно, величину разнесения кодовых сигналов. В этом подразделе мы рассмотрим случайный выбор кодовых слов и определим верхнюю объединённую границу вероятности ошибки, которая зависит от параметра предельной скорости для канала с релеевскими замираниями.

Рассмотрим модель системы связи, показанную на рис. 14.6.1.

Модулятор имеет -ичный ортогональный ЧМ алфавит. Кодовые слова с длиной блока отображаются в сигналы путем выбора частот из алфавита частот. Демодуляция выполняется пропусканием сигнала через банк из согласованных фильтров, за которыми следуют квадратичные детекторы. Считается, что выполняется декодирование мягких решений. Выходы квадратичных детекторов демодулятора соответствующим образом комбинируются (суммируются) с равными весами для формирования величин для решения, соответствующего возможным переданным кодовым словам.

Чтобы рассчитать объединенную верхнюю границу для вероятности ошибки в канале с релеевскими замираниями и АБГШ, мы сначала рассчитаем вероятность ошибки на бит, включая расчёт величины для решения соответствующей переданному кодовому слову, и любых из остальных величин для решений, соответствующих остальным кодовым словам. Пусть – другая величина для решения и пусть , и имеют общих частот. Поскольку вклад в и этих частот идентичен, он исчезает при формировании разности для принятия решения. Так как две величины для решения различаются в частотах, вероятность ошибки равно той, которая получается для двоичной ортогональной системы ЧМ с порядком разнесения . Точное выражение для этой вероятности ошибки даётся (14.6.4), где , а - среднее ОСШ на частоту. Для упрощения мы используем границу Чернова для этого двоичного перехода, ведущего к ошибке, и определяемого (14.6.2), т.е.

(14.16.22)

Теперь проведем усреднение по ансамблю двоичных систем связи. Имеется возможных кодовых слов, из которых мы случайно выбираем два кодовых слова. Каждое кодовое слово выбирается с равной вероятностью. Вероятность того, что два случайных выбранных кодовых слов имеют вместе l частот, равна:

. (14.16.23)

Если усредним (14.6.22) по l с вероятностями (14.6.23), мы получим

(14.16.24)

В заключении найдем объединенную границу вероятности ошибки системы связи, которая использует случайно выбираемых кодовых слов

(14.16.25)

Комбинируя (14.6.24) и (14.6.25), мы получаем верхнюю границу для средней вероятности ошибки на символ

(14.16.26)

где - скорость кода, a - предельная скорость, определяемая так:

(14.16.27)

где

(14.6.28)

График как функции , показан на рис. 14.6.13 для .

Рис. 14.6.13. Предельная скорость как функция от для канала с релеевскими замираниями

Более интересная форма (14.6.26) может получиться, если выразить через ОСШ на бит. В частности (14.6.26) можно выразить так

(14.6.29)

где по определению

(14.6.30)

Графики с параметром ,как функция построены на рис.14.6.14.

Рис. 14.6.14. График функции

Для начала заметим, что имеется оптимальное значение для каждой величины , которая минимизирует вероятность ошибки. Для больших эта величина примерно равна (5 дБ), что согласуется с нашими прежними наблюдениями для обычного квадратичного сложения. Далее, если , функция стремится к пределу, который равен

(14.6.31)

Значение рассчитанное при , равно

(14.6.32)

Следовательно, вероятность ошибки в (14.6.29) для этого оптимального разбиения суммарного ОСШ определяется так:

(14.6.33)

Эти результаты показывают, что вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой с оптимальным ОСШ на кодовый чип, если среднее ОСШ на бит (6,2 дБ). Даже относительно умеренные значения приводят близко к этому минимальному значению. Как видно из рис. 14.6.14 , так что при условии, что (7 дБ). С другой стороны, если ,максимальная величина для и соответствующий минимум ОСШ на бит равен 10,2 дБ.

Для случая двоичных ЧМ символов мы можем легко сравнить предельную скорость для неквантованного выхода (мягких решений) демодулятора с предельной скоростью при двоичном квантовании, для которого

что дано (8.1.104). Рис. 14.6.15 иллюстрирует графики и . Заметим, что разница между и примерно равна 3 дБ для скоростей ниже 0,3 и разница быстро возрастает при больших скоростях. Эту потерю можно значительно уменьшить увеличением числа уровней квантования до (три бита).

Рис. 14.6.15. Предельная скорость для декодирования мягких решений (неквантованного) и жёстких решений при двоичной ЧМ

Аналогичные сравнения сравнительного качества между не квантованным декодированием мягких решений и декодированием квантованных решений можно сделать при .