ЗАДАЧИ

14.1. Функция рассеяния  для многопутевого канала с замираниями не равна нулю в области  и . Предположим, что функция рассеяния приближенно равномерна по двум переменным.

a) Дайте численные значения для следующих параметров:

      (i) многопутевое рассеяние канала;

      (ii) доплеровский сдвиг в канале;

      (iii) интервал временной когерентности канала;

      (IV) полоса частотной когерентности канала;

      (V) фактор рассеяния канала.

b) Объясните значение следующих ответов, взяв во внимание ответы, данные в (а):

      (i) канал неселектвен по частоте;

      (ii) канал с медленными замираниями;

      (iii) канал селективен по частоте;

c) Предположим, что мы имеем в канале полосу частот 10 кГц и мы желаем передавать по этому каналу информацию со скоростью 100 Бит/с. Синтезируйте двоичную систему связи с частотным разнесением. В частности для случая (i) тип модуляции, для (ii) число подканалов, для (iii) частотный разнос между соседними несущими и (IV) - сигнальный интервал, используемый в Вашем синтезе. Объясните Ваш выбор параметров.

14.2. Рассмотрите двоичную систему связи для передачи двоичных последовательностей по каналу с замираниями. Модулятор выдает ортогональные сигналы ЧМ и обеспечивает частотное разнесение третьего порядка . Демодулятор состоит из согласованных фильтров, а за ними следуют квадратичные детекторы. Предположите, что несущие ЧМ замирают независимо и по одинаковому закону с релеевским распределением огибающей. Аддитивный шум в каналах разнесения гауссовской с нулевым средним и автокорреляционной функцией . Шумовые процессы в отдельных каналах взаимнонезависимые.

a) Передаваемый сигнал можно рассматривать как двоичную ЧМ с квадратичным детектированием, который генерируется кодом с повторением вида

,

Определите вероятность ошибки  для декодера жестких решений, следующего после квадратичного детектирования сигналов.

b) Рассчитайте  для  и 1000.

c) Рассчитайте вероятность ошибки  для и 1000, если используется декодирование мягких решений.

d) Рассмотрите обобщение результата (а). Если используется код с повторением с длиной блока  ( четно) определите вероятность ошибки  для декодера жестких решений и сравните с вероятностью ошибки  декодера мягких решений. Предположите, что .

14.3. Предположите, что двоичный сигнал  передаётся по каналу с замираниями, а принимаемый сигнал

,  ,

где  - белый гауссовский шум с нулевым средним и автокорреляционной функцией

.

Энергия переданного сигнала . Канальное ослабление а определяется ФПВ

a) Определите среднюю вероятность ошибки  для демодулятора, который использует фильтр, согласованный с .

b) Какое значение примет , когда  стремится к бесконечности.

c) Предположите, что один и тот же информационный сигнал передается по двум статистически независимым каналам с замираниями и ослаблениями  и , где

,          .

Шум в двух каналах статистически независим и одинаково распределен. Демодулятор использует согласованный фильтр в каждом канале и просто суммирует выходы двух фильтров для формирования величины для решения. Определите среднее значение .

d) Для случая с найдите значение для , когда  стремится к бесконечности.

14.4. Многопутевой канал с замираниями имеет временное рассеяние  с и доплеровское рассеяние  Гц. Суммарная полоса частот, используемая сигналом для передачи сигнала, равна  Гц. Чтобы уменьшить влияние МСИ проектировщик выбирает сигнальный импульс длительностью  с.

a) Определите полосу частотной когерентности и интервал временной когерентности.

b) Является ли канал селективным по частоте? Объясните.

c) Являются ли замирания в канале медленными или быстрыми? Объясните.

d) Предположим, что канал используется для передачи двоичных данных посредством когерентного детектирования ФМ при частотном разнесении. Объясните, как Вы используете доступную полосу частот канала для получения частотного разнесения и определите какой порядок разнесения возможен.

e) Для случая (d), какое приближенное значение ОСШ требуется на канал разнесения, чтобы достичь вероятности ошибки ?

f) Предположите, что широкополосный сигнал используется для передачи, а для демодуляции используется приёмник типа Rake. Сколько ячеек Вы используете в приёмнике Rake?

g) Объясните, можно или нельзя реализовать приёмник Rake как когерентный приёмник с суммированием максимальных отношений.

h) Если используются ортогональные сигналы для широкополосного сигнала с квадратичным последетекторным суммированием в приёмнике Rake, какие приближённые значения ОСЩ требуются для достижения вероятности ошибки ? (предположите, что во всех отводах одинаковое ОСШ).

14.5. В двоичной системе связи, показанной на рис. Р.14.5,  и  - статистически независимые гауссовские шумовые процессы с нулевым средним и одинаковой функцией автокорреляции .

Рис. Р14.5

Отсчетные величины  и  представляют реальные части выходов согласованных фильтров. Для примера, если передаётся , тогда имеем

где  - энергия, переданная сигналом, и

, .

Очевидно, что  и  являются коррелированными гауссовскими величинами, в то время как  и   - независимые гауссовские величины с распределением

где дисперсия  равна

a) Покажите, что совместная ФПВ для  и  равна

если передается  и

если передается .

b) Основываясь на отношении правдоподобия покажите, что оптимальное сложение  и U2 приводит к величине для решения

где  - константа. Каково оптимального значения ?

c) Предположите, что передается . Какова плотность вероятности ?

d) Какова вероятность ошибки при предположении, что было передано ? Выразите Ваш ответ, как функцию от ОСШ

e) Какова потеря качества в случае, когда я  является величиной для решения?

14.6. Рассмотрите модель двоичной системы связи с разнесением, показанной на рис. Р. 14.6.

Рис. Р14.6.

Каналы имеют фиксированные ослабления и фазовые сдвиги  - комплексные белые гауссовские шумовые процессы с нулевыми средними и корреляционными функциями

.

(Заметим, что спектральные плотности  различны). Шумовые процессы статистически взаимно независимы,  - комплексные взвешивающие множители, которые должны быть определены. Величина решения на выходе схемы сложения

a) определите ФВП когда передача +1.

b) определите вероятность ошибки , как функцию от весов .

c) определите величины , которые минимизируют .

14.7. Определите вероятность ошибки для двоичной ортогональной системы сигналов с разнесением  порядка в канале с релеевскими замираниями. ФПВ двух величин для решения даны (14.4.31) и (14.4.32).

14.8. Двоичный свёрточный код с передаточной функцией, определенной (8.2.5), со скоростью 1/3, кодовым ограничением  используется для передачи данных по каналу с релеевскими замираниями посредствам двоичной ФМ.

a) Определите и постройте вероятность ошибки при декодировании жестких решений. Предположите, что передаваемые сигналы, соответствующие кодовым символам замирают независимо.

b) Определите и постройте вероятность ошибки при декодировании мягких решений. Предположите что сигналы, соответствующие кодовым символам, замирают независимо.

14.9. Двоичная последовательность передаётся двоичными противоположными сигналами по каналу с релеевскими замираниями с разнесением -гo порядка. Когда передается  принимаемые эквивалентные низкочастотные сигналы равны

,      

Замирания в L подканалах статистически независимы. Слагаемые аддитивных шумов  являются независимыми и одинаково распределенными белыми гауссовскими процессами с нулевыми средними значениями и автокорреляционной функцией . На приёме каждый из L сигналов проходит через фильтр, согласованный с а выход корректируется по фазе, чтобы получить

,              

  суммируются линейно для формирования величины для решения

.

a) Определите ФПВ для  при условии фиксированных величин

b) Определите выражение для вероятности ошибки, когда  статистически независимые и одинаково распределенные релеевские случайные величины.

14.10. Было показано, что граница Чернова для вероятности ошибки двоичной ЧМ при  кратном разнесении в канале с релеевскими замираниями можно выразить так

,

где

.

a) Нарисуйте  и определите приближенно его максимальное значение и величину , при которой наступает максимум.

b) Для заданного  определите оптимальный порядок разнесения.

c) Сравните  при условии максимизации  (оптимальное разнесение) с вероятностью ошибки двоичной ЧМ в канале с АБГШ баз замираний, которое равно

и определите потери в ОСШ, обусловленные замираниями и некогерентным (квадратичным) суммированием.

14.11. ПП система используется для разделения многопутевых компонент в двухпутевом радиоканале. При условии, что длина второго пути на 300 м длиннее прямого пути, определите минимально необходимую скорость чипов для разделения многопутевых компонент.

14.12. Низкочастотная (базовая) цифровая система связи использует сигналы, показанные на рис. Р14.12(а), для передачи двух равновероятных сообщений. Предполагается, что проблема связи, которая изучается здесь, это проблема связи «одного выстрела». Это значит, указанные сообщения передаются именно один раз, а после этого и передача не имеет места. Канал не имеет ослабления  а шум АБГШ со спектральной плотностью мощности .

a) Найдите подходящий ортонормированный базис для представления сигналов

b) На блок-схеме дайте подробную спецификацию оптимального приёмника с согласованными фильтрами. Тщательно обозначьте блоки.

c) Найдите вероятность ошибки оптимального приёмника.

d) Покажите, что оптимальный приёмник можно реализовать, используя только один фильтр (смотрите блок-схему рис. Р14.12(b)). Каковы характеристики согласованного фильтра, стробирующего устройства и решающего блока?

e) Теперь предположите, что канал не идеальный, но имеет импульсную характеристику . Используя тот же согласованный фильтр, что в (d), синтезируйте оптимальный приёмник.

f) Предположите, что импульсная характеристика равна , где -случайная величина с равномерным распределением на отрезке Используя тот же фильтр, что в (d) синтезируйте оптимальный приёмник.

Рис. Р14.12

14.13. Система связи использует две разнесённые антенны и двоичные ортогональные сигналы ЧМ. Принимаемые сигналы в двух антеннах равны

где  и  - статистически независимые случайные величины с распределением Релея,  и  - статистически независимые белые гауссовские случайные процессы с нулевым средним и спектральной плотностью мощности . Два сигнала демодулируются, квадратируются и затем суммируются до детектирования.

a) Нарисуйте функциональную блок-схему полного приёмника, включающую демодулятор, устройство сложения и детектор.

b) Нарисуйте график вероятности ошибки детектора и сравните этот результат со случаем отсутствия разнесения.

14.14. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. Р14.14, используются для передачи двоичной последовательности.

Рис. Р14.14

Эквивалентная низкочастотная импульсная характеристика канала . Чтобы избежать перекрытия импульсов между соседними передачами, скорость передачи выбирается как.  Передаваемые сигналы равновероятны и искажаются аддитивным белым гауссовским шумом с нулевым средним, имеющий эквивалентное низкочастотное представление  с автокорреляционной функцией

a) Нарисуйте два возможных эквивалентных принимаемых низкочастотных сигнала (без помех).

b) Определите оптимальный приёмник и нарисуйте эквивалентные низкочастотные отклики всех фильтров, используемых в оптимальном приёмнике. Предположите когерентное детектирование сигналов.

14.15. Подтвердите соотношение (14.3.14) путём замены переменной  в распределении Накатами.