15.3.3. Субоптимальные детекторы

В выше приведённом обсуждении мы видели, что оптимальный детектор для  пользователей СDМА имеет вычислительную сложность, измеряемую числом арифметических операций (сложений и умножений/делений) на модулированный символ, которые увеличиваются экспоненциально с . В этом подразделе мы опишем субоптимальные детекторы с вычислительной сложностью, которая растёт линейно с числом пользователей . Мы начнём с простейшего субоптимального детектора, который мы назовём общепринятым (для одного пользователя) детектором.

Общепринятый детектор для одного пользователя. В общепринятом детектировании сигнала одного пользователя приёмник для каждого пользователя состоит из демодулятора, который коррелирует (согласованно фильтрует) принимаемый сигнал с адресной  последовательностью пользователя и подаёт выход коррелятора на детектор, который выносит решение, основываясь на выход единственного коррелятора. Таким образом, общепринятый детектор пренебрегает присутствием других пользователей канала или, что эквивалентно, предполагает, что аппаратурный шум вместе с интерференцией является белым и гауссовским.

Рассмотрим синхронную передачу. Тогда выход коррелятора для -го пользователя на сигнальном интервале  равен

,                                   (15.3.26)

,       (15.3.27)

где компонента шума  равна

                           (15.3.28)

Поскольку  - белый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности  дисперсия  равна

                 (15.3.29)

Ясно, если адресные последовательности ортогональны, интерференция от других пользователей, определённая средним слагаемым в (15.3.22), исчезает и общепринятый детектор одного пользователя оптимален. С другой стороны, если одна или больше адресных последовательностей не ортогональны к адресной последовательности данного пользователя, интерференция от других пользователей может оказаться чрезмерной, если уровни мощности сигналов (или энергии принимаемых сигналов) от одного или больше других пользователей существенно больше, чем уровень мощности -го пользователя. Эта ситуация обычно называется проблема разных дальностей (near-far problem) в системе связи со многими пользователями и делает необходимым некоторые виды контроля мощности при общепринятом детектировании.

При асинхронной передаче общепринятый детектор более уязвим к интерференции от других пользователей. Это потому, что невозможно синтезировать адресные последовательности для любой пары пользователей, которые ортогональны для всех сдвигов во времени. Следовательно, интерференция от других пользователей неустранима при асинхронной передаче с общепринятым детектированием одного пользователя. В этом случае проблема разных дальностей, возникшая из-за неравной мощности сигналов, переданных различными пользователями, особенно серьёзная. Её практическое решение обычно требует регулировки мощности, осуществляемой приёмником посредством отдельного канала связи, который все пользователи непрерывно перехватывают. Другой выбор сводится к использованию одного из многопользовательских детекторов, описываемых ниже.

Детектор с декорреляцией. Мы видели, что общепринятый детектор имеет сложность, которая растёт линейно с числом пользователей, но его уязвимость к проблеме разных дальностей требует некоторого вида контроля мощности. Мы хотим придумать другой тип детектора, который также имеет линейную вычислительную сложность, но не проявляет уязвимость к интерференции других пользователей.

Сначала рассмотрим случай синхронной передачи символов. В этом случае, вектор, принимаемого сигнала , который представляет собой выход  согласованных фильтров равен

,                                 (15.3.30)

где , а вектор шума с элементами  имеет ковариацию

                                 (15.3.31)

Поскольку шум гауссовский,  описывается -мерной гауссовской ФПВ со средним  и ковариацией . То есть

   (15.3.32)

Наилучшая линейная оценка  это величина , которая минимизирует логарифм функции правдоподобия

                 (15.3.33)

Результат такой минимизации дает

.                                     (15.3.34)

Тогда детектируемые символы (оценки) определяются знаком каждого элемента , то есть

.                                  (15.3.35)

Рис.15.7.1 иллюстрирует структуру приёмника. Из (15.3.34) и (15.3.35) видно, что декоррелятор требует знания относительной задержки  но не требуется знания сигнальных амплитуд.

Рис.15.3.1. Структура приёмника с декорреляцией

Поскольку оценка  получена формированием линейного преобразования вектора выходов корреляторов, вычислительная сложность линейно растёт с .

Читатель может видеть, что наилучшая (максимально правдоподобная) оценка  даваемая (15.3.34), отличается от оптимального нелинейного МП детектора последовательности, который находит наилучшую дискретную последовательность с величинами {±l}, которая максимизирует функцию правдоподобия. Интересно также отметить, что оценка  - это наилучшая линейная оценка, которая максимизирует корреляционные метрики, определяемые (15.3.15).

Интересную интерпретацию детектора, который вычисляет  по (15.3.34) и выносит решения согласно (15.3.35), можно получить, рассмотрев случай . В этом случае

                                  (15.3.36)

                           (15.3.37)

где

.                              (15.3.38)

Затем, если мы коррелируем принимаемый сигнал

                   (15.3.39)

с  и , мы получим

                          (15.3.40)

где  и  являются шумовыми компонентами на выходе корреляторов. Следовательно

                (15.3.41)

Это очень интересный результат, т.к. преобразование  ограничивает интерференционные компоненты между двумя последовательностями. Следовательно, проблема разных дальностей ограничивается и нет нужды в контроле мощности.

Интересно отметить, что результат (15.3.41) получается также, если мы коррелируем,  определяемое (15.3.39), с двумя модифицированными адресными сигналами

                          (15.3.42)

                          (15.3.43)

Это означает, что путем коррелирования принимаемого сигнала с модифицированными адресными сигналами, мы можем отстроить или декоррелировать интерференцию многих пользователей. Поэтому детектор, основанный на (15.3.34), называют детектором с декорреляцией.

При асинхронной передаче принимаемый сигнал на выходе корреляторов определяется (15.3.19). Следовательно, логарифм функции правдоподобия определяется как

                   (15.3.44)

где  определяется (15.3.23), a  определяется (15.3.21). Относительно легко показать, что вектор b, который минимизирует , равен

                                  (15.3.45)

Это МП оценка , и она опять получена путем формирования линейного преобразования выходов блока корреляторов или согласованных фильтров.

Поскольку , то следует из (15.3.45), что

                                     (15.3.46)

Следовательно,  - несмещенная оценка . Это значит, что интерференция многих пользователей ограничена, как в случае синхронной передачи символов. Поэтому детектор для асинхронной передачи также называется детектор с декорреляцией.

Эффективным в вычислительном отношении методом для получения решения (15.3.45) является метод факторизации матрицы системы, описанный в приложении D. Конечно, имеется много других методов, которые можно использовать для обращения матрицы .

Были также исследованы итеративные методы для декорреляции сигналов.

Детектирование по минимуму среднего квадрата ошибки. В приведенном выше обсуждении мы показали, что линейная МП оценка  получается минимизацией квадратичной функции логарифма правдоподобия в (15.3.44). Так мы получили результат, определяемый (15.3.45). Он является оценкой, получаемая путем формирования линейного преобразования выходов банка корреляторов или согласованных фильтров.

Другое, в определенной степени иное, решение можно получить, если мы осуществим линейное преобразование , где матрица  определяется так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки (СКО)

          (15.3.47)

Легко показать, что оптимальный выбор , который минимизирует  равен

                              (15.3.48)

и, следовательно

                             (15.3.49)

Затем выход детектора определяется как .

Оценка, определяемая (15.3.49), называется оценкой по минимуму СКО (МСКО) для . Заметим, что когда  мало по сравнению с диагональными элементами матрицы  решение МСКО приближается к МП решению, определяемому (15.3.45). С другой стороны, когда уровень шума большой по сравнению с уровнем сигнала в диагональных элементах матрицы  матрица  приближается к единичной матрице (со скаляром . В этом случае (низкого ОСШ) детектор принципиально игнорирует интерференцию от других пользователей, поскольку аддитивный шум является доминирующим слагаемым.

Можно также отметить, что критерий МСКО дает смещенную оценку . Следовательно, остаётся некоторая остаточная интерференция многих пользователей.

Чтобы выполнить вычисления, ведущие к , мы решаем систему линейных уравнений

.                               (15.3.50)

Это решение можно эффективно выполнить, используя факторизацию матрицы , как указано выше. Таким образом, детектирование  символов требует  умножений. Следовательно, вычислительная сложность определяется как  умножений на символ (бит), причём она не зависит от длины блока  и линейно связана с .

Другие типы детекторов. Детектор с декорреляцией и МСКО детектор, описанные выше, включают формирование линейных преобразований блока данных от  корреляторов или согласованных фильтров. МСКО детектор подобен линейному СКО эквалайзеру, описанному в главе 10. Следовательно, МСКО многопользовательское детектирование можно реализовать, используя линию задержки с отводами и с настраивающимися коэффициентами для каждого пользователя и выбирая коэффициенты фильтра для минимизации СКО для сигнала каждого пользователя. Таким образом, принимаемые информационные символы оцениваются последовательно с постоянной задержкой, вместо оценки блока символов.

Оценку , определенную (15.3.46), получаемую обработкой блока из N символов детектором с декорреляцией, можно также вычислить последовательно. Хай и др. (1990) продемонстрировали, что передаваемые символы могут быть восстановлены последовательно от принимаемого сигнала путем использования разновидности эквалайзера с обратной связью по решению и с постоянной задержкой. Таким образом, здесь имеется похожесть между детектированием сигналов, искаженных МСИ в системе с одним пользователем и детектированием сигналов в системе со многими пользователями при ассинхронной передаче.