15.3.2. Оптимальный приёмник

Оптимальный приёмник определяется как приемник, который выбирает наиболее правдоподобную последовательность символов  по принимаемому сигналу , наблюдаемому на интервале . Сначала мы рассмотрим случай синхронной передачи; позже мы рассмотрим асинхронную передачу.

Синхронная передача. При синхронной передаче каждый пользователь производит точно один символ на сигнальном интервале рассматриваемого пользователя. При белом гауссовском шуме в канале достаточно рассмотреть принимаемый сигнал на одном сигнальном интервале,  и определять оптимальный приемник. Таким образом  можно выразить так

,                      (15.3.9)

Оптимальный максимально правдоподобный приёмник вычисляет функцию правдоподобия

               (15.3.10)

и выбирает информационную последовательность , которая минимизирует . Если мы раскроем интеграл в 15.3.10, то получим

   (15.3.11)

Видим, что интеграл от  является общим для всех возможных последовательностей  и он не влияет в определении того, какая последовательность передана. Следовательно его можно упустить. Слагаемое

                     (15.3.12)

представляет собой взаимную корреляцию принимаемого сигнала с каждым из  адресными последовательностями. Вместо взаимных корреляторов мы можем использовать согласованные фильтры. Наконец интеграл, включающий  и  даёт

.                             (15.3.13)

Следовательно, (15.3.11) можно выразить в форме корреляционных метрик

,             (15.3.14)

Эти корреляционные метрики можно также выразить в векторной форме

,                       (15.3.15)

где

,

и  - матрица корреляции с элементами . Видно, что оптимальный детектор должен знать энергии принимаемых сигналов для расчёта корреляционных метрик.

Имеется  возможных выборов символов в информационных последовательностях  пользователей. Оптимальный детектор вычисляет корреляционные метрики для каждой возможной последовательности и выбирает последовательность, которая имеет наибольшую корреляционную метрику. Видно, что оптимальный детектор имеет сложность, которая растёт экспоненциально с числом пользователей .

В целом оптимальный приёмник при синхронной передаче символов состоит из банка из  корреляторов или согласованных фильтров, за ними детектор, который вычисляет  корреляционных метрик, определяемых (15.3.15), соответствующих  возможным передаваемым информационным последовательностям. Затем детектор выбирает последовательность, соответствующую, наибольшей корреляционной метрике.

Асинхронная передача. В этом случае имеются точно два соседних символа от каждого пользователя, которые перекрывают символ на сигнальном интервале рассматриваемого пользователя. Мы предполагаем, что приёмник знает энергии принимаемых символов  для  пользователей и задержки передачи . Ясно, что эти параметры должны быть измерены на приёме или переданы приёмнику как сторонняя информация от пользователей посредством некоторого сигнала управления.

Оптимальный максимально правдоподобный приёмник вычисляет функцию правдоподобия

  (15.3.16)

где b представляет последовательность данных от  пользователей. Интеграл от  можно упустить поскольку он общий для всех возможных последовательностей. Интеграл

          (15.3.17)

представляет выход коррелятора или согласованного фильтра для -го пользователя на каждом сигнальном интервале. Наконец, интеграл

      (15.3.18)

можно легко разложить на слагаемые, включающие взаимную корреляцию , для  и  для . Следовательно, мы видим что функция правдоподобия можно выразить через слагаемые корреляционных метрик, которые включают выходы   корреляторов или согласованных фильтров - один для каждой из  адресных последовательностей. Используя векторные обозначения, можно показать, что выходы  корреляторов или согласованных фильтров -  можно выразить в форме

                                            (15.3.19)

где по определению

                                  (15.3.20)

           (15.3.21)

                                               (15.3.22)

,          (15.3.23)

a  - матрица размером  с элементами

                (15.3.24)

Векторы гауссовского шума  имеют нулевые средние и автокорреляционную матрицу

                              (15.3.25)

Заметим, что вектор , определённый (15.3.19), образует достаточную статистику для оценивания передаваемых символов .

Если мы хотим проследить схему обработки то оптимальный МП детектор должен вычислить  корреляционных метрик и выбрать  последовательностей длины , которые соответствуют наибольшей корреляционной метрике. Ясно, что такой подход слишком сложен в вычислительном отношении, чтобы быть реализуемом на практике, особенно, когда  и  велико. Альтернативный подход - МП оценивание последовательностей, использующее алгоритм Витерби. Чтобы сконструировать детектор последовательного типа, мы должны использовать то обстоятельство, что каждый передаваемый символ перекрывается с  символами. Таким образом, получается существенное уменьшение вычислительной сложности с учётом параметра длины блока , но экспоненциальная зависимость от  остается.

Важно, что оптимальный МП приёмник, использующий алгоритм Витерби, предполагает такую большую вычислительную сложность, что его использование на практике ограничено системами связи, в которых число пользователей крайне мало, например . Для больших значений  следует рассматривать детектор последовательного типа, который схож или последовательному детектированию, или стек алгоритмам, описанным в гл. 8. Ниже мы рассмотрим некоторые субоптимальные детекторы, сложность которых растёт линейно с .