ЗАДАЧИ

15.1. При определении сигналов CDMA и моделей типа, описанных в разделе 15.3.1, мы предположили, что принимаемые сигналы вещественны. Для  это предположение предполагает фазовый синхронизм на всех передатчиках, что не очень реально в практических системах. Чтобы представить случай когда фазы несущих не синхронизированы мы должны просто изменить адресные сигналы для  пользователей, определенные (15.1.1), на комплексные в виде

,

где  представляет постоянный фазовый сдвиг на -м передатчике, как это видится общим приёмником.

a) По данной комплексной форме адресных сигналов, определите форму оптимального МП приемника, который вычисляет корреляционные метрики, аналогично (15.3.15).

b) повторите нахождение оптимального МП детектора для асинхронной передачи, являющейся аналогом (15.3.19).

15.2. Рассмотрите TDMA систему, когда каждый пользователь ограничен переданной мощностью , независимо от числа пользователей. Определите пропускную способность на пользователя  и общую пропускную способность . Изобразите  и , как функцию от  и прокомментируйте результат при

15.3. Рассмотрим систему FDMA при  пользователей в канале с АБГШ, где пользователю 1 предназначается полоса  а пользователю 2 предназначается полоса , где . Пусть  и  - средние мощности двух пользователей.

a) Определите пропускные способности  и  двух пользователей и их сумму , как функцию от . На двумерном графике зависимости скорости  от  изобразите график точек  при изменении  в пределах .

b) Напомним, что скорости двух пользователей должны удовлетворять условиям

Определите суммарную пропускную способность , когда  и затем покажите, что максимальная скорость достигается, когда .

15.4. Рассмотрите систему  с  пользователями в канале с АБГШ. Предположите, что два передатчика ограничены по пиковой мощности  и  и пусть пользователь 1 передает  возможного времени, а пользователь 2 передает  времени. Имеющаяся в распоряжении полоса частот равна .

a) Определите пропускные способности  и  и  как функции от .

b) Нарисуйте графики точек  при изменении а в области .

15.5. Рассмотрите систему  с  пользователями в канале с АБГШ. Предположите, что два передатчика ограничены по средней мощности  и  и пусть пользователь 1 передает  возможного времени, а пользователь 2 передает  времени. Имеющаяся в распоряжении полоса  частот равна .

a) Определите пропускные способности  и  и  как функции от .

b) Нарисуйте графики точек  при изменении а в области

с) В чём схожесть между этим решением и решением для системы  из задачи 15.3.

15.6. Рассмотрите синхронный канал с множественным доступом при наличии двух пользователей и адресных последовательностей, показанных на рис. Р15.6.

Рис. Р15.6.

Параметр  описывает относительную мощность двух пользователей, а  описывает степень корреляции между сигналами. Пусть

означает принимаемый сигнал в момент , где  - белый гауссовский шум со спектральной плотностью , а . В следующих задачах вы должны сравнить структуру общепринятого детектора многих пользователей со структурой оптимального приёмника для различных величин ,  и .

a) покажите, что при данном наблюдении  достаточная статистика для данных  и  является наблюдение на интервале .

b) Общепринятый (субоптимальный) детектор многих пользователей выбирает данные  согласно следующему правилу

,

где

.

Определите выражение для вероятности ошибки на бит для пользователя 1, используя обозначения

,

.

c) Какова форма этого выражения для  и произвольном ?

d) Какова форма этого выражения для произвольно большого  и произвольных ? О чем это говорит для общепринятого детектировании?

e) Какова форма этого выражения для  и произвольных  и ? Почему она отличается от результата (d)?

f) Определите форму этого выражения для произвольно больших , произвольных  и .

g) Определите форму этого выражения для , произвольного  и .

15.7. Обратитесь к задаче 15.6. При максимально правдоподобном приёме последовательности в этом канале выбираются данные  и  переданные на интервале [0,1] согласно правилу

,

где  - функция правдоподобия  и  при данном наблюдении  . Полезно записать эту максимизацию так

где величина , удовлетворяющая внутренней максимизации, может зависеть от . Заметим, что потребность в «последовательном детектировании» мы избежали.

a) Выразите эту максимизацию в наипростейшем виде, используя те же обозначения, что в задаче 15.6 (b). Сведите эту максимизацию к простейшей форме, используя равенство

если,  не зависит от .

b) Какова простейшая структура НК приемника, если относительная мощность пользователей ? Как она по сравнению с общепринятом детектировании?

c) Какова простейшая структура НК приёмника для  и произвольных ? Как он по сравнению с общепринятом детектированием? Почему?

d) Какова простейшая структура НК приёмника для произвольно больших  и произвольных  и ? Как она по сравнению с общепринятым детектировании? Определите вероятность ошибки для пользователя 1 в этом случае. [Подсказка: используйте факт, что  с высокой вероятностью в рассматриваемом случае].

e) Определить вероятность ошибки НК приёмника для пользователя 1 при  и произвольно большом  и ? Как она по сравнению с общепринятым детектированием?

f) Какова структура НК приёмника для произвольно большом  и  и произвольных ? Как она по сравнению с общепринятым детектированием? Что это говорит об общепринятом детектировании в этом случае? [Подсказка: используйте факт, что  грубо в  раз больше чем .

15.8. Рассмотрите асинхронную систему связи, показанную на рисунке Р15.8.

Рис. Р.15.8.

Два приёмника разнесены в пространстве, и белые шумовые процессы  и  можно рассматривать как независимые. Шумовые процессы распределены одинаково со спектральной плотностью мощности , и имеют нулевые средние. Поскольку приёмники разнесены в пространстве, относительные задержки между пользователями не одинаковые - обозначим относительную задержку пользователя  на -м приёмнике . Все остальные параметры сигналов совпадают для приёмников, а принимаемый сигнал на -м приёмнике

где  определен на интервале . Вы можете предположить, что -й приёмник имеет полную информацию об энергиях сигналов и относительных задержках  и . Хотя -й приёмник возможно интересуется только данными от -го передатчика, заметьте, что имеется свободная линия связи между моделью одного приёмника и постпроцессорными цепями другого. За каждым постпроцессором осуществляется решение пороговым детектированием. В этой задаче, вы можете рассмотреть право выбора за постпроцессором и за линией связи для того, чтобы улучшить качество.

a) Какова вероятность ошибки на бит для пользователей 1 и 2 на паре приёмников, которые не используют линии связи и не образуют постпроцессоров. Используйте следующие обозначения:

b) Рассмотрите постпроцессор для приёмника 1, который принимает  и  с линии связи и реализует следующую послепроцессорную обработку над :

Определите точное выражение для вероятности ошибки на бит для пользователя 1.

c) Определите асимптотическую эффективность приёмника многих пользователей в (b) и сравните с (а). Будет ли этот приемник всегда значительно лучше чем приёмник в (а).

15.9. Базовые сигналы, показанные на рисунке Р15.6, синтезированы для двух пользователей, которые делят один и тот же асинхронный, узкополосной канал. Предположите, что  и . Мы хотели бы сравнить качество различных приёмников по критерию вероятности ошибки . Поскольку это выражение слишком сложное в некоторых случаях, мы хотим также поинтересоваться сравнением асимптотической эффективности систем многих пользователей  для каждого приёмника. Предположим, что ,  фиксировано и известно на приёме и предположим, что мы имеем неограниченный диапазон передачи .

a) Для общепринятого многопользовательского приёмника:

    (i) Найдите точное выражение для вероятности ошибки для пользователя 1. Выразите этот результат через . [Подсказка: может помочь условная вероятность при фиксированном  и ].

     (ii) Изобразите асимптотическую эффективность многих пользователей , как функцию . Укажите и объясните максимальные и минимальные значения  на этом графике.

b) Для НК приёмника:

     (i) Изобразите  как функцию . Объясните максимальные и минимальные значения, сравните с a(ii).

     (ii) Какие последовательности ошибок более вероятны для каждого значения ?

c) Для ограничивающего детектора с декорреляцией:

     (i) Найдите точное выражение для вероятности ошибки для пользователя 1 с теми же параметрами, как в a(i) [Подсказка: не забудьте нормировать  и ].

     (ii) Изобразите  как функцию от . Объясните минимальное значение  в этом случае и сравните с a(ii).

15.10.  Посимвольный детектор, который минимизирует вероятность ошибки на символ, отличается от минимально правдоподобного детектора последовательности. Последний более сложно описать чем детектор, который выбирает каждый  согласно правилу

.

a) Покажите, что это правило решения минимизирует  по всем правилам решения при наблюдении . Согласно этому критерию превосходство за НК приёмником.

b) Покажите, что простейшая структура приёмника, обеспечивающего минимизацию вероятности ошибки для пользователя 1, определяется так

c) Найдите простейшую форму для приёмника, обеспечивающего минимум вероятности ошибки, для  и произвольных  и . Как она по сравнению с вышеуказанными приёмниками?

d) Найдите предельную форму приёмника, минимизирующего вероятность ошибки, при произвольно больших  и произвольных  и . Сравните с вышеуказанными приёмниками.

e) Найдите предельную форму приёмника, минимизирующего вероятность ошибки, для  и произвольных . Сравните с вышеприведенными приёмниками.

f) Найдите предельную форму приёмника, минимизирующего вероятность ошибки, для ,  и произвольного  . Сравните с вышеприведенными приёмниками.

15.11. В чистой системе Алоха канальная битовая скорость передачи равна 2400 бит/с. Предположим, что каждый терминал передает в среднем 100 бит сообщений.

a) Определите максимальное число терминалов, которые можно использовать в канале.

b) повторите (а), если используется щелевая ALOHA.

15.12.  Определите максимальный входной трафик для чистой ALOHA и протокол для щелевой ALOHA.

15.13.  Для пуассоновского процесса вероятность появления  событий на интервале  равна

a) Определите среднее число появлений событий на интервале .

b) Определите дисперсию  числа появлений событий на интервале  .

с) Какова вероятность того, что на интервале  произойдет хотя бы одно появление события.

d) Какова вероятность того, что произойдет точно одно появление события.

15.14. Обратитесь к задаче 15.13. Средняя скорость  появления пакетов равна  пакетов/с. Определите:

a) Среднее время между появлениями пакетов.

b) Вероятность того что другой пакет появится в пределах 1 с, 100 мс.

15.15. Рассмотрите чистую систему ALOHA, которая работает с проходимостью , а пакеты генерируются по закону Пуассона с интенсивностью (скоростью) появления . Определите:

a) Величину .

b) Среднее число попыток передачи для отправки пакета.

15.16. Рассмотрите систему CSMA/CD в которой скорость передачи по трассе равна 20 Мбит/с. Трасса имеет длину 2 км и задержку при распространении 5 мкс/км. Пакеты имеют по 1000 бит. Определите:

a) Задержку из конца в конец .

b) Длину пакета .

с) Отношение

d) Максимальное использование трассы и максимальную скорость передачи символа.