ПРИЛОЖЕНИЕ А. АЛГОРИТМ ЛЕВИНСОНА-ДУРБИНА

Алгоритм Левинсона-Дурбина – рекуррентный метод первого порядка для определения решения системы линейных уравнений

                                                                 (А.1)

где  матрица Теплица,  - вектор коэффициентов предсказания, выраженный так

,

а  - p-мерный вектор с элементами

.

Для предсказания первого порядка  имеем решение

                                                          (A.2)

Остаточный средний квадрат ошибки (СКО) для предсказателя первого порядка

    (А.3)

В общем, мы можем выразить решение для коэффициентов предсказателя -го порядка через коэффициенты -го. Так мы выразим  как сумму двух векторов, именно

,                                 (A.4)

где вектор  и скаляр  надо определить. Таким образом,  можно выразить так

                                         (A.5)

где  как раз вектор  в обратном порядке. Теперь

.

Из (А.6) мы получаем два уравнения. Первое - это матричное уравнение

                                  (А.7)

Но . Следовательно, (А.7) упрощается:

                                            (А.8)

Это уравнение имеет решение

                                                  (А.9)

Но  равно  в обратном порядке. Следовательно, решение (А.9) равно  в обратном порядке, умноженном на . Это значит

                                                  (А.10)

Второе уравнение, получаемое из (А.6), - скалярное уравнение

                                                      (A.11)

Мы исключаем  из (А.11), используя (А. 10). Окончательное уравнение дает нам , то есть

      (A.12)

где  - остаточный СКО, определяемый так

                                                               (A.13)

Подстановкой (А.10) для dm-1 в (А.4) мы получаем рекуррентное соотношение первого порядка

                          (А. 14)

и

.

Минимум СКО можно также вычислить рекуррентно. Мы имеем

                                                                           (A.15)

Используя (А. 14) в (А. 15) мы получим

                             (А. 16)

Но слагаемое в квадратных скобках в (А.16) - это и есть числитель для  в (А.12). Следовательно,

                                                      (А.17)