ПРИЛОЖЕНИЕ B. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ

В многоканальных системах связи, которые используют двоичные сигналы для передачи информации по каналу с АБГШ, величины для решения у детектора можно выразить как частный случай общей квадратичной формы

         (B.1)

через комплексные гауссовские случайные переменные,  и  являются константами;  и  - пара коррелированных гауссовских случайных величин, Для рассматриваемых каналов  пар  - статистически взаимно независимы и одинаково распределены.

Вероятность ошибки определяется вероятностью того, что . Эта вероятность вычисляется ниже.

Вычисления начинаются с характеристической функции, обозначаемое , общей квадратичной формы. Вероятность того, что , обозначаемое здесь как вероятность ошибки , равна

,                                                          (В.2)

где  - ФПВ для D связанна с   преобразованием Фурье, то есть

.

Следовательно,

.                                              (В.З)

Переменим порядок интегрирования и сначала выполним интегрирование по D. В результате получаем

                                                           (B.4)

где малое положительное число  введено для того, что сдвинуть путь интегрирования от точки сингулярности . Оно должно быть положительным для того, чтобы было возможным менять порядок и интегрирования.

Поскольку  является суммой статистически независимых случайных переменных характеристическая функция  определяется произведением  характеристических функций, причем каждая функция соответствует индивидуальным случайным переменным , где

.

Характеристическая функция  равна

                (B.5)

где параметры  зависят от средних  и  и вторых (центральных) моментов  комплексных гауссовских величин  и  через следующее определение  

;

               (B.6)

;  .

Теперь, как результат независимости случайных величин , характеристическая функция  равна

;   ,      (B.7)

где

                                                                        (В.8)

Результат (В.7) подставляется для в (В.4) и мы получаем

      (B.9)

Этот интеграл вычисляется следующим образом.

Первый шаг сводится к выражению экспоненциальной функции в виде

,

причём можно легко проверить, что константы  и  определяются так:

.                     (B.10)

На втором шаге выполняется конформное преобразование из -плоскости в -плоскость посредством преобразования переменной

                                                                                               (B.11)

В -плоскости интеграл (В.9) приводится к выражению

                           (B.12)

где

                       (B.13)

а  - круговой контур радиуса меньше единицы включает начало координат.

Третий шаг сводится к вычислению интеграла

   (B.14)

Для того, что облегчить последующие выкладки, вводятся константы

                                                                (В. 15)

Выразим также функцию  как биномиальный ряд. В результате получаем

       (B.16)

Контурный интеграл в (В.16) является одним из представлений функции Бесселя. Его можно разрешить, используя соотношение

где  - модифицированная функции Бесселя -го порядка первого рода. Представление -функции Маркума в ряд функций Бесселя имеет вид

Рассмотрим сначала случай  в (В.16). В этом случае результирующий контурный интеграл можно записать в форме

     (B.17)

Далее, рассмотрим слагаемое . Результирующий контурный интеграл может быть выражен через -функцию так:

       (В.18)

Наконец, рассмотрим случай . Имеем

   (B.19)

Собирая слагаемые, указанные в первой части (В.16), к используя результаты, даваемые (В.17)-(В.19), получаем после некоторых преобразований следующее выражение для контурного интеграла

    (В.20)

Уравнение (В.20) в соединении с (В. 12) даёт результат для вероятности ошибки. Следует дальнейшее упрощение, если использовать следующее тождество, которое можно легко доказать

.

Таким образом, следует, что

Это и есть искомое выражение для вероятности ошибки. Теперь несложно связать параметры  и  с моментами пары . Подставив выражения для  и  из (В.10) в (В.15), получаем

                               (B.22)

Поскольку определяются (В.6) и (B.8) непосредственно через моменты пар  и  наша задача завершена.