4.1.1. Представление полосовых сигналов

Предположим, что вещественный сигнал  имеет частоты, концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты , как показано на рис. 4.1.1.

Наша цель – дать математическое представление таких сигналов. Сначала мы сконструируем сигнал, который содержит только положительные частоты из . Такой сигнал можно выразить как

,                                                             (4.1.1)

где  - преобразование Фурье  от , а  - единичная ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области

.        (4.1.2)

Рис. 4.1.1. Спектр полосового сигнала

Сигнал  называется аналитическим сигналом для . Заметим, то  и

.                                                       (4.1.3)

Следовательно,

.                           (4.1.4)

Определим

.                                            (4.1.5)

Сигнал  можно рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой

,  ,                                                         (4.1.6)

при подаче на вход сигнала . Такой фильтр называют преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень проста:

              (4.1.7)

Заметим, что  при  и что фазовая характеристика

Следовательно, этот фильтр по существу – фазовращатель на 90° для всех частот входного сигнала.

Аналитический сигнал  является полосовым сигналом. Мы можем получить эквивалентное низкочастотное представление, выполнив частотное преобразование .

Определим  так:

.                                                              (4.1.8)

Эквивалентное соотношение во временной области

,                         (4.1.9)

или, что эквивалентно,

.                                                      (4.1.10)

В общем случае сигнал  комплексный (см. задачу 4.5), и его можно выразить так:

.                                                                (4.1.11)

Если мы подставим  в (4.1.10) и приравняем вещественные и мнимые части с каждой стороны, получим соотношения

,                                               (4.1.12)

.                                               (4.1.13)

Выражение (4.1.12) – желательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные сигнальные компоненты  и  можно рассматривать как сигналы, модулирующие по амплитуде соответственно несущие  и . Поскольку эти несущие находятся в квадратуре (сдвинуты по фазе на 90°),  и  называют квадратурными компонентами полосового сигнала .

Другое представление для сигнала (4.1.12) такое:

,            (4.1.14)

где  означает вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал  обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала . Она является по существу эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма представления полосового сигнала получается, если представить

,                                                                    (4.1.15)

где

,                                                                       (4.1.16)

.                                                                  (4.1.17)

Тогда

.   (4.1.18)

Сигнал  называют (вещественной) огибающей , a , а  называют фазой . Таким образом, (4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых сигналов. Преобразование Фурье

.              (4.1.19)

Если использовать равенство

                                                                           (4.1.20)

в (4.1.19), то следует

,      (4.1.21)

где  - преобразование Фурье от . Это базовое соотношение между спектром действительного полосового сигнала  и спектром эквивалентного низкочастотного сигнала .

Энергия вещественного сигнала  определяется так:

.                                    (4.1.22)

Если равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат

.                  (4.1.23)

Рассмотрим второй интеграл в (4.1.23). Поскольку сигнал  узкополосный, то вещественная огибающая  или, что эквивалентно,  меняется медленно по сравнению с быстрыми изменениями функции косинуса. Графическая иллюстрация подынтегрального выражения во втором интеграле (4.1.21) дана на рис. 4.1.2. Величина этого интеграла равна площади под косинусной функцией, промодулированной сигналом .

Рис. 4.1.2. Сигнал

Поскольку модулирующий сигнал  меняется медленно по сравнению с косинусной функцией, площадь, определяемая вторым интегралом, очень мала по сравнению с величиной первого интеграла в 4.1.23, и, следовательно, вторым интегралом можно пренебречь. Таким образом, для всех практических приложений энергия полосового сигнала , выраженная через эквивалентный низкочастотный сигнал , равна

,                                                               (4.1.24)

где  является огибающей  для сигнала .