4.1.1. Представление полосовых сигналов
Предположим, что вещественный сигнал
имеет частоты, концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты
, как показано на рис. 4.1.1.
Наша цель – дать математическое представление таких сигналов. Сначала мы сконструируем сигнал, который содержит только положительные частоты из
. Такой сигнал можно выразить как
, (4.1.1)
где
- преобразование Фурье
от
, а
- единичная ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области
. (4.1.2)

Рис. 4.1.1. Спектр полосового сигнала
Сигнал
называется аналитическим сигналом для
. Заметим, то
и
. (4.1.3)
Следовательно,
. (4.1.4)
Определим
. (4.1.5)
Сигнал
можно рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой
,
, (4.1.6)
при подаче на вход сигнала
. Такой фильтр называют преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень проста:
(4.1.7)
Заметим, что
при
и что фазовая характеристика

Следовательно, этот фильтр по существу – фазовращатель на 90° для всех частот входного сигнала.
Аналитический сигнал
является полосовым сигналом. Мы можем получить эквивалентное низкочастотное представление, выполнив частотное преобразование
.
Определим
так:
. (4.1.8)
Эквивалентное соотношение во временной области
, (4.1.9)
или, что эквивалентно,
. (4.1.10)
В общем случае сигнал
комплексный (см. задачу 4.5), и его можно выразить так:
. (4.1.11)
Если мы подставим
в (4.1.10) и приравняем вещественные и мнимые части с каждой стороны, получим соотношения
, (4.1.12)
. (4.1.13)
Выражение (4.1.12) – желательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные сигнальные компоненты
и
можно рассматривать как сигналы, модулирующие по амплитуде соответственно несущие
и
. Поскольку эти несущие находятся в квадратуре (сдвинуты по фазе на 90°),
и
называют квадратурными компонентами полосового сигнала
.
Другое представление для сигнала (4.1.12) такое:
, (4.1.14)
где
означает вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал
обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала
. Она является по существу эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма представления полосового сигнала получается, если представить
, (4.1.15)
где
, (4.1.16)
. (4.1.17)
Тогда
. (4.1.18)
Сигнал
называют (вещественной) огибающей , a
, а
называют фазой
. Таким образом, (4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых сигналов. Преобразование Фурье 
. (4.1.19)
Если использовать равенство
(4.1.20)
в (4.1.19), то следует
, (4.1.21)
где
- преобразование Фурье от
. Это базовое соотношение между спектром действительного полосового сигнала
и спектром эквивалентного низкочастотного сигнала
.
Энергия вещественного сигнала
определяется так:
. (4.1.22)
Если равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат
. (4.1.23)
Рассмотрим второй интеграл в (4.1.23). Поскольку сигнал
узкополосный, то вещественная огибающая
или, что эквивалентно,
меняется медленно по сравнению с быстрыми изменениями функции косинуса. Графическая иллюстрация подынтегрального выражения во втором интеграле (4.1.21) дана на рис. 4.1.2. Величина этого интеграла равна площади под косинусной функцией, промодулированной сигналом
.

Рис. 4.1.2. Сигнал 
Поскольку модулирующий сигнал
меняется медленно по сравнению с косинусной функцией, площадь, определяемая вторым интегралом, очень мала по сравнению с величиной первого интеграла в 4.1.23, и, следовательно, вторым интегралом можно пренебречь. Таким образом, для всех практических приложений энергия полосового сигнала
, выраженная через эквивалентный низкочастотный сигнал
, равна
, (4.1.24)
где
является огибающей
для сигнала
.