4.3.3. Нелинейные методы модуляции с памятью

В этом разделе мы рассмотрим класс методов цифровой модуляции, в которых фаза сигнала поддерживается непрерывной. Такая поддержка приводит к модуляции по фазе или по частоте с памятью. Метод модуляции нелинеен.

Частотная модуляция с непрерывной фазой (ЧМНФ). Обычный сигнал ЧМ или модуляции с частотным сдвигом (МЧС или FSK) генерируется путём сдвига частоты несущей на величину , , чтобы отразить цифровую информацию, которую надо передать. Этот вид модуляции сигналов был описан в разделе 4.3.1 и он без памяти. Переход от одной частоты к другой может быть выполнен посредством отдельных генераторов, настроенных на необходимые частоты, и выбора одной из частот согласно частному значению -битового символа (блока), который должен быть передан на сигнальном интервале длиной секунд.

Однако такое резкое переключение с выхода одного генератора на выход другого в смежных сигнальных интервалах приводит к относительно большим долям боковых частотных составляющих вне основной спектральной полосы сигнала, и, следовательно, этот метод требует большую полосу частот для передачи сигнала. Чтобы избежать использования сигналов с большими долями боковых полос, информационный сигнал может модулировать одну несущую, частота которая меняется непрерывно. Результирующий частотно-модулированный сигнал имеет в этом случае непрерывную фазу и поэтому назван ЧМ с непрерывной фазой (ЧМНФ, CPFSK). Этот вид ЧМ сигнала имеет память, обусловленную тем, что фазу несущей заставляют быть непрерывной.

Чтобы представить сигнал ЧМНФ, мы начнём с сигнала AM

, (4.3.50)

где означает последовательность амплитуд, полученную путём отображения -битовых блоков двоичных символов от информационных последовательностей в уровни амплитуды , -прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью секунд. Сигнал используется для частотной модуляции несущей. Следовательно, эквивалентный низкочастотный сигнал можно в этом случае выразить так:

, (4.3.51)

где - максимальная девиация частоты, а - начальная фаза несущей. Частотно-модулированный сигнал, соответствующий (4.3.51), можно выразить как

, (4.3.52)

где представляет меняющуюся во времени фазу несущей:

. (4.3.53)

Заметим, что содержит разрывы, интеграл же от непрерывен. Следовательно, мы имеем сигнал с непрерывной фазой. Фаза несущей на интервале определяется интегрированием (4.3.53) таким образом:

, (4.3.54)

где и определяются так:

, (4.3.55)

, (4.3.56)

(4.3.57)

Видим, что представляет накопление (память) от всех информационных символов, переданных до момента . Параметр называется индексом модуляции.

Модуляция с непрерывной фазой (МНФ). Выраженный в виде (4.3.54) сигнал ЧМНФ является специальным случаем общего класса сигналов МНФ (модуляции с непрерывной фазой), в которой фаза несущей определяется так:

, (4.3.58)

где - последовательность информационных символов, выбранных из алфавита , - последовательность индексов модуляции, а - нормированная огибающая сигнала.

Когда для всех , индекс модуляции фиксирован для всех символов. Когда индекс модуляции меняется от одного символа к другому, сигнал МНФ называется многоиндексным (multi-h). В этом случае меняется циклически, принимая значения ряда индексов. Форму сигнала можно представить в общем виде как интеграл от импульса :

. (4.3.59)

Если для , сигнал МНФ называют МНФ с полным откликом. Если для , модулированный сигнал называют МНФ с частичным (парциальным) откликом. Рисунок 4.3.16 иллюстрирует несколько форм огибающих импульсов и соответствующих форм . Очевидно, что неограниченное число разновидностей сигналов МНФ можно генерировать выбором различных огибающих импульсов и изменением индекса модуляции и размера алфавита .

Рис. 4.3.16. Формы импульсов для полного отклика МНФ (a, b) и для парциального отклика МНФ (с, d)

Поучительно нарисовать ряд фазовых траекторий , генерируемых возможными значениями информационных последовательностей . Например, для случая ЧМНФ с двоичными символами и прямоугольным импульсом ряд фазовых траекторий, начинающихся при времени , показан на рис. 4.3.17. Для сравнения фазовые траектории для четырёхпозиционной ЧМНФ иллюстрируются на рис. 4.3.18. Эти фазовые диаграммы называют фазовым деревом. Видим, что фазовые деревья для ЧМНФ являются кусочно-линейными, как следствие того факта, что импульс прямоугольный. Гладкие фазовые траектории и фазовые деревья получены также при использовании импульсов, которые не имеют разрывов, таких как класс импульсов приподнятого косинуса. Для примера фазовая траектория, генерируемая последовательностью , при парциальном отклике импульса приподнятого косинуса длины иллюстрируется на рис. 4.3.19. Для сравнения показаны соответствующие фазовые траектории, генерируемые при ЧМНФ.

Рис. 4.3.17. Фазовые траектории для двоичной ЧМНФ

Рис. 4.3.18. Фазовые траектории для четырёхпозиционной ЧМНФ

Фазовые деревья, показанные на этих рисунках, растут со временем. Однако фаза несущей однозначна только в области от до или, что эквивалентно, от до . Если фазовые траектории определить по модулю , скажем в области , фазовое дерево превратится в структуру, называемую фазовой решёткой. Для надлежащего обозрения диаграмм фазовых решёток можем строить две квадратурные компоненты и как функции времени. Таким образом, мы генерируем трёхмерный график, в котором квадратурные компоненты и возникают на поверхности цилиндра единичного радиуса. Например, рис. 4.3.20 иллюстрирует фазовую решётку или фазовый цилиндр, получающийся при двоичной модуляции с индексом модуляции и использовании импульса принятого косинуса длиной .

Простое представление фазовых траекторий можно получить, показывая только финальные значения фаз сигнала в моменты времени . В этом случае мы ограничиваем индекс модуляции сигнала МНФ рациональными значениями. В частности, предположим, что , где и - взаимно простые целые числа. Тогда МНФ-сигнал с полным откликом в моменты времени будет иметь финальные состояния

, (4.3.60)

когда - четно, и

, (4.3.61)

когда - нечётно. Следовательно, имеется финальных состояний фазы, когда - четно, и состояний, когда - нечётно. С другой стороны, когда огибающая импульса простирается на символьных интервалах (МНФ с парциальным откликом), число состояний фазы может увеличиваться до максимального значения , где

(4.3.62)

где - объём алфавита. Например, двоичная ЧМНФ (полный отклик, прямоугольный импульс) с имеет финальных фазовых состояний. Решётка состояний для этого сигнала показана на рис. 4.3.21. Подчеркнём, что переход фазы из одного состояния в другое не затрагивает промежуточные фазовые траектории. Они здесь представляют фазовые переходы для состояний в моменты времени .

Рис. 4.3.21. Решетка состояний для двоичной ЧМНФ с

Альтернативной по отношению к решётке состояний является диаграмма состояний, которая иллюстрирует переходы состояний в моменты времени . Она даже является более компактным представлением сигнальных характеристик МНФ. Только возможные финальные состояния фазы и их переходы отражены на диаграмме состояний. Время здесь не выступает как переменная. Для примера на рис. 4.3.22 показана диаграмма состояний для сигнала ЧМНФ с .

Рис. 4.3.22. Диаграмма состояний для двоичной ЧМНФ с

Модуляция с минимальным сдвигом (ММС, MSK). ММС - специальная форма двоичной ЧМНФ (и, следовательно, МНФ), в которой индекс модуляции . Фаза несущей на интервале равна

(4.3.63)

а сигнал модулированной несущей равен

(4.3.64)

Формула (4.3.64) указывает на то, что сигнал двоичной ЧМНФ может быть выражен как синусоида, имеющая одно из двух возможных значений частоты на интервале . Если мы определим эти частоты так:

(4.3.65)

тогда сигнал двоичной ЧМНФ, определяемый (4.3.64), можно записать в виде

. (4.3.66)

Разность частот . Напомним, что - это минимальная разность частот, необходимая для обеспечения ортогональности сигналов и на сигналимом интервале длиной . Это объясняет, почему двоичную МНФ с называют модуляцией с минимальным сдвигом (ММС). Фаза на -м сигнальном интервале определяется состоянием фазы сигнала, которая образуется для непрерывности фазы между соседними интервалами.

ММС можно также представить как разновидность четырёхфазного ФМ. Конкретно мы можем выразить эквивалентный низкочастотный модулирующий сигнал в виде

, (4.3.67)

где - сигнальный импульс, определяемый так:

(4.3.68)

Таким образом, этот тип сигнала можно рассматривать, как четырёхпозиционный сигнал ФМ, в котором огибающая импульса является полупериодом синусоиды. Чётные двоичные (±1) символы от информационной последовательности передаются при помощи косинусоиды несущей, в то время как нечётные двоичные (±1) символы передаются при помощи синусоиды несущей. Скорость передачи двух ортогональных несущих равна бит/с, так что суммарная скорость передачи равна бит/с. Заметим, что битовые переходы на синусной и косинусной несущей смещены во времени на секунд. Из этих соображений сигнал

(4.3.69)

называют офсетной квадратурной ФМ (ОКФМ, OQPSK) или квадратурной ФМ со сдвигом (КФМС, SQPSK).

Рисунок 4.3.23 иллюстрирует представление ММС-сигналов как двух смещённых квадратурно-модулированных двоичных ФМ-сигналов. Сумма двух квадратурных сигналов является частотно-модулированным сигналом с постоянной амплитудой.

Рис. 4.3.23. Представление сигнала ММС суммой двух взаимно сдвинутых сигналов ФМ, каждый с синусоидальной огибающей

Интересно сравнить форму сигнала ММС с ОКФМ, в котором импульс является прямоугольным на интервале , с обычной квадратурной ФМ (КФМ), в которой импульс также прямоугольный на интервале . Ясно, что все три метода модуляции работают при одинаковой скорости передачи данных. ММС сигнал имеет непрерывную фазу. ОКФМ-сигнал с прямоугольным импульсом принципиально является суммой двух двоичных ФМ-сигналов, в которых переходы фазы возникают через секунд. Таким образом, сигнал имеет скачки фазы на ± 90°, которые могут возникнуть не чаще, чем через секунд. С другой стороны, обычная четырёхпозиционная ФМ с постоянной амплитудой может иметь скачки фазы ±180° или ±90° каждые секунд. Иллюстрация этих трёх типов сигналов дана на рис. 4.3.24.

Пространственные диаграммы для сигналов МНФ. В общем, сигналы с непрерывной фазой не могут быть представлены в дискретных точках в пространстве сигналов, как в случае AM, ФМ и КАМ, поскольку фаза несущей меняется во времени. Вместо этого сигнал с непрерывной фaзой описывается переменными фазами или траекториями перехода от одного состояния фазы к другому.

Для сигналов МНФ с постоянной амплитудой переменные траектории образуют окружность. Для примера на рис. 4.3.25 иллюстрируется диаграмма пространства сигналов (фазовые траектории) для МНФ с , , , .

Рис. 4.3.25. Пространственная диаграмма сигнала ЧМНФ

Места начала и конца этих фазовых траекторий отмечены на рисунке точкой. Заметим, что длина фазовой траектории увеличивается с ростом . Рост ведёт также к расширению полосы частот, как будет показано в следующем разделе.

Многоуровневая МНФ. Многоуровневая МНФ является обобщением обычной МНФ, в которой амплитуда сигнала может принять ряд значений, в то время как фаза поддерживается непрерывной. Для примера рассмотрим двухуровневый сигнал ЧМНФ, который можно представить так:

, (4.3.70)

где

, (4.3.71)

. (4.3.72)

Информация передаётся последовательностями символов и , которые связаны с двумя независимыми двоичными информационными последовательностями и , принимающими значение . Видим, что сигнал в (4.3.70) является суперпозицией двух сигналов ЧМНФ с различными амплитудами.

Для детальной проработки рассмотрим случай, когда , так что мы имеем суперпозицию двух ММС-сигналов. В точке передачи компоненты с различными амплитудами находятся либо в фазе, либо в противофазе. Изменение фазы сигнала определяется фазой компоненты с большой амплитудой, в то время как изменение амплитуды определяется компонентой с меньшей амплитудой. Поэтому меньшая компонента управляется так, чтобы в начале и в конце символьного интервала, она находилась в фазе или была сдвинута на 180° относительно компоненты с большой амплитудой, независимо от фазы последней. При таком управлении последовательности символов и можно выразить так:

(4.3.73)

Эти соотношения отражены в табл. 4.3.1.

Таблица 4.3.1

				Амплитудно-фазовые отношения
0	0	-1	-1	Амплитуда постоянна; фаза уменьшается
0	1	-1	1	Амплитуда меняется; фаза уменьшается
1	0	1	1	Амплитуда постоянна; фаза растёт
1	1	1	-1	Амплитуда меняется; фаза растёт

Как обобщение, сигнал многоуровневой ЧМНФ с компонентами можно выразить так:

, (4.3.74)

где

, (4.3.75)

(4.3.76)

Последовательности и статистически независимы, они двоичные, а символы принимают значения из ряда .

Из (4.3.75) и (4.3.76) видим, что каждая компонента в сумме будет или в фазе, или со сдвигом 180° относительно фазы наибольшей компоненты в концах интервала -го символа, т.е. при . Таким образом, состояния сигналов определяются уровнями амплитуд из ряда значений и значениями фаз из ряда Управление фазой требуется для того, чтобы поддерживать непрерывной фазу сигнала МНФ.

Рисунок 4.3.26 иллюстрирует диаграмму состояний сигнала для двухамплитудной ЧМНФ с и . Диаграммы состояний трёхкомпонентной ЧМНФ показаны на рис. 4.3.27. В этом случае имеются четыре уровня амплитуд. Число состояний зависит как от индекса модуляции , как и от . Дополнительные многоуровневые формы сигналов ЧМНФ можно получить с использованием как огибающих импульсов, отличных от прямоугольных, так и сигнальных импульсов, которые тянутся более чем на интервал одного символа (парциальный отклик).

Рис. 4.3.26. Пространственная диаграмма сигнала двухкомпонентной ЧМНФ

Рис. 4.3.27. Пространственная диаграмма сигнала трёхкомпонентной ЧМНФ