4.3.2. Линейная модуляция с памятью

Сигналы модуляции, которые обсуждались в предыдущем разделе, были классифицированы как сигналы без памяти, поскольку не было зависимости между сигналами, которые передаются на неперекрывающихся символьных интервалах. В этом разделе мы представим некоторые сигналы модуляции, в которых имеется зависимость между сигналами, которые передаются в последовательных символьных интервалах. Эта зависимость сигналов обычно вводится с целью такого формирования спектра передаваемых символов, который был бы согласован со спектральными характеристиками канала. Зависимость между сигналами, передаваемыми в различных символьных интервалах, обычно используется при кодировании данных источника на входе модулятора при помощи кодированной модуляции, как это описывается в гл. 9.

В этом разделе мы хотим представить примеры модулированных сигналов с памятью и характеризовать их память в терминах цепей Маркова. Мы ограничим рассмотрение базовыми (низкочастотными) сигналами. Обобщение на полосовые сигналы относительно несложно.

Рисунок 4.3.12 иллюстрирует три различных базовых сигнала и соответствующие им данные источника информации. Первый сигнал, называемый NRZ (non return to zero - двоичный сигнал без возвращения к нулевому уровню - ДБН), - простейший. Двоичный информационный символ 1 представлен прямоугольным импульсом положительной полярности , а двоичный информационный символ 0 - прямоугольным импульсом отрицательной полярности .

Рис. 4.3.12. Базовые сигналы

Следовательно, NRZ отображает модуляцию без памяти и она эквивалентна двоичной AM или двоичной ФМ в системе с модулированной несущей. Сигнал NRZI отличается от NRZ тем, что переход от одного уровня амплитуды к другому имеет место только при передаче 1. Уровень амплитуды не меняется, когда передаётся символ 0. Этот тип преобразования сигнала назван дифференциальным кодированием. Операция кодирования математически описывается соотношением

, (4.3.41)

где - двоичная информационная последовательность источника на входе кодера, - выходная последовательность кодера, а означает суммирование по модулю 2. Если , передаваемый сигнал - это прямоугольный импульс с амплитудой , а если , передаваемый сигнал - прямоугольный импульс с амплитудой . Следовательно, выход источника отображается одним из двух сигналов, точно таких, как в NRZ-сигнале.

Операция дифференциального кодирования вводит память в сигнал. Комбинацию операций кодера и модулятора можно представить диаграммой состояний (марковская цепь), как показано на рис. 4.3.13. В состоянии передаётся сигнал , в состоянии - сигнал . Указание означает передачу сигнала или на следующем шаге при поступлении очередного информационного символа . Диаграмму можно описать с помощью двух матриц перехода, соответствующих двум возможным входным символам . Заметим, что если , состояние кодера не меняется. Следовательно, матрица перехода для простейшая:

, (4.3.42)

где , если появляется при переходе от состояния к состоянию , и ; в других случаях . Аналогично, матрица перехода состояний для равна:

. (4.3.43)

Таким образом, эти две матрицы перехода состояний характеризуют NRZI сигнал.

Рис. 4.3.13. Диаграмма состояний для сигнала NRZI

Другой путь появления памяти, вводимый докодерной обработкой, иллюстрируется посредством решётчатой диаграммы. Решётчатая диаграмма NRZI-сигнала показана на рис. 4.3.14. Решётка обеспечивает такую же информацию относительно зависимости сигнала, как диаграмма состояний, но она также отображает эволюцию во времени переходов состояний. Состояния системы отмечены на решётке точками (узлами), а на переходах между ними (называемых ветвями) отмечены поступающие информационные символы и передаваемые сигналы.

Рис. 4.3.14. Решетчатая диаграмма для сигнала NRZI

Сигнал, образованный модуляцией с задержкой, также имеет память. Как будет показано в гл. 9, модуляция с задержкой эквивалентна кодированию источника данных посредством кода Миллера, использующего NRZI для передачи кодированных данных. Этот вид цифровой модуляции широко используется для цифровой магнитной записи и в системах модуляции несущей с ФМ. Сигнал может быть описан диаграммой состояний, которая имеет четыре состояния, как показано на рис. 4.3.15 (а). Имеются два элементарных сигнала и и их негативы и , которые используются для передачи двоичной информации. Эти сигналы иллюстрируются на рис. 4.3.15 (b).

Рис. 4.3.15. Диаграмма состояний (а) и базовые формы сигналов (b) для модуляции с задержкой (код Миллера)

Отображение символов соответствующими сигналами иллюстрируется диаграммой состояний. Матрицу перехода состояний, которая характеризует память этих методов кодирования и модуляции, легко получить из диаграммы состояний рис. 4.3.15.

Когда , мы имеем для матрицы перехода

. (4.3.44)

Когда , матрица перехода равна

. (4.3.45)

Таким образом, эти две матрицы перехода состояний размером характеризуют диаграмму состояний сигналов, кодированных по Миллеру.

Разновидности модуляции с памятью, такие как NRZI и кодирование по Миллеру, в общем характеризуются -мерной марковской цепью со стационарными вероятностями состояний и вероятностями перехода . С каждым переходом связан сигнал . Таким образом, означает вероятность того, что передаётся сигнал на данном сигнальном интервале после передачи сигнала на предыдущем сигнальном интервале. Вероятности переходов могут быть упорядочены в форме матрицы

. (4.3.46)

Её называют матрицей переходных вероятностей. Матрица переходных вероятностей легко получается из матриц переходов и соответствующих вероятностей появления входных символов (или, что эквивалентно, стационарных вероятностей состояний ). Общее соотношение можно выразить так:

, (4.3.47)

где и .

Для сигнала NRZI с равновероятными состояниями и матриц перехода, определяемых (4.3.42) и (4.3.42), матрица переходных вероятностей равна

. (4.3.48)

Аналогично матрица переходных вероятностей для сигналов, кодированных по Миллеру, при равновероятных символах (, или, что эквивалентно, ) равна

. (4.3.49)

Матрица переходных вероятностей используется при определении спектральных характеристик техники цифровой модуляции с памятью, как мы покажем в разд. 4.4.