Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4.3.1. Методы модуляции без памяти

Как сказано выше, модулятор в цифровой системе связи отображает последовательность информационных символов в соответствующую последовательность сигналов. Эти сигналы могут отличаться по амплитуде, по фазе или по частоте или могут зависеть от двух или более сигнальных параметров. Мы рассмотрим каждый из этих видов сигналов отдельно, а начнём с линейной цифровой амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), которую проще называют амплитудной модуляцией (AM). Во всех случаях предполагаем, что информационная последовательность символов на входе модулятора является двоичной, и появляется со скоростью  бит/с.

Амплитудно-импульсная модуляция. Цифровой AM сигнал можно представить так:

,                 (4.3.1)

где  означает ряд из  возможных амплитуд, соответствующих  возможным -битовым блокам или символам. Амплитуда сигнала  принимает дискретные значения (уровни)

,                      (4.3.2)

где  - расстояние между соседними амплитудами сигналов. Сигнал  является вещественным сигнальным импульсом, форма которого определяет спектр передаваемого сигнала, как мы увидим позже. Скорость передачи канальных символов при AM равна . Это скорость, с которой происходят изменения амплитуды гармонической несущей для того, чтобы отразить передачу новой информации. Временной интервал  называется информационным (битовым) интервалом, а временной интервал  называется символьным интервалом или интервалом канального символа.

Сигналы AM имеют энергию

,              (4.3.3)

где  означает энергию импульса .

Ясно, что сигналы AM являются одномерными , и, следовательно, их можно представить в общем виде так:

,                    (4.3.4)

где  определен как полосовой сигнал с единичной энергией:

,                  (4.3.5)

и

.                      (4.3.6)

На рис. 4.3.1 даны соответствующие пространственные диаграммы сигналов для , , . Цифровая AM называется также модуляцией с амплитудным сдвигом (MAC, ASK).

148.jpg

Рис. 4.3.1. Пространственная диаграмма сигналов цифровой AM

Отображение или задание  информационных бит  возможными амплитудами сигнала можно сделать различными способами. Наилучшее задание - это такое, при котором соседние амплитуды сигналов соответствуют информационным двоичным блокам, различающимся в одном разряде, как показано на рис. 4.3.1. Это отображение называется кодом Грея. Он важен при демодуляции сигнала, поскольку наиболее вероятные ошибки вызывает ошибочный выбор амплитуды, соседней по отношению к той, которая действительно передана. В этом случае, в -битовой информационной последовательности возникает ошибка только в одном бите.

Заметим, что евклидово расстояние между какой-либо парой сигнальных точек равно

.                    (4.3.7)

Следовательно, расстояние между парой соседних сигнальных точек, т.е. минимальное значение евклидова расстояния, равно

.                      (4.3.8)

Модулированные сигналы AM, представленные (4.3.1), являются двухполосными (ДП) сигналами и требуют в два раза большую полосу частот, чем низкочастотный передаваемый сигнал. В качестве альтернативы можем использовать однополосную (одной боковой полосы, ОБП) AM, которую можно представить (нижнюю или верхнюю полосу) так:

,                     (4.3.9)

где  - преобразование Гильберта от . Таким образом, полоса частот ОБП равна половине полосы частот, занимаемой сигналом ДП.

Рассмотренный сигнал цифровой AM можно интерпретировать как передачу по эквивалентному каналу без несущей. В этом случае сигнал AM можно представить в виде

.                      (4.3.10)

Его называют базовым (низкочастотным) или видеосигналом. Для примера на рис. 4.3.2(a) показан четырехуровневый базовый сигнал AM.

Модулированная по несущей версия этого сигнала дана на рис. 4.3.2 (b).

150.jpg

Рис. 4.3.2. Базовый AM сигнал (видеосигнал) (а) и полосовой AM сигнал (b)

В частном случае  рассматриваемая двоичная AM имеет специальное свойство:

.

Следовательно, эти два сигнала имеют одинаковую энергию и коэффициент их взаимной корреляции равен -1. Такие сигналы называют противоположными.

Сигналы фазовой модуляции. При цифровой фазовой (нелинейной) модуляции  сигналов можно представить в виде

                    (4.3.11)

где  определяет огибающую сигнала, a , , определяет  возможных значений фазы несущей, которая переносит передаваемую информацию. Цифровую фазовую модуляцию (ФМ) называют также модуляцией с фазовым сдвигом (МФС, PSK).

Заметим, что рассматриваемые формы сигналов имеют одинаковую энергию, т.е.

.              (4.3.12)

Далее, ФМ сигналы можно представить как линейную комбинацию двух ортонормированных сигналов  и ,т.е.

,             (4.3.13)

где

,              (4.3.14)

,                        (4.3.15)

а двухмерные векторы  определяются так:

.                     (4.3.16)

Пространственные диаграммы ФМ сигналов для  и 8 даны на рис. 4.3.3.

151.jpg

Рис. 4.3.3. Пространственная диаграмма для ФМ сигналов

Видим, что случаю  соответствуют одномерные противоположные сигналы, которые идентичны рассмотренным двоичным сигналам AM.

Как и в случае AM, отображение или задание  информационных бит в  возможных значений фаз можно сделать различными путями. Предпочтительное отображение - коды Грея, так что наиболее вероятные ошибки, вызываемые шумами, будут возникать в одном бите -битового символа.

Евклидово расстояние между точками ФМ сигналов равно

.                      (4.3.17)

Минимальное расстояние по Евклиду соответствует случаю, когда , т.е. соседним значениям фаз. При этом

.                  (4.3.18)

Квадратурная амплитудная модуляция. Хорошую частотную эффективность можно получить не только при АМ/ОБП, но и путём одновременной передачи двух отдельных -битовых информационных блоков на двух несущих, находящихся в квадратуре ( и ). Такая техника модуляции названа квадратурной AM или КАМ (QAM), и соответствующие сигналы можно выразить так:

              (4.3.19)

где  и  - информационные амплитуды сигнала для квадратурных несущих, a  - форма импульса.

Альтернативно сигнал КАМ можно выразить так:

,                       (4.3.20)

где  и . Из этой формы представления видно, что сигнал КАМ можно рассматривать как комбинацию амплитудной и фазовой модуляции.

Действительно, мы можем образовать определенную комбинацию -уровневой AM и -позиционной ФМ, чтобы сконструировать комбинированное АМ-МФ сигнальное созвездие, содержащее  точек пространства сигналов. Если  и , то сигнальное созвездие комбинированной АМ-ФМ сводится к мгновенной передаче  двоичных символов, возникающих со скоростью . Примеры сигнальных пространственных диаграмм для комбинированной АМ-МФ показаны на рис. 4.3.4 для  и .

152.jpg

Рис. 4.3.4. Примеры пространственных диаграмм для комбинированной АМ-ФМ

Как в случае AM сигналов, КАМ сигналы можно представить как линейную комбинацию двух ортонормированных сигналов  и ,т.е.

,             (4.3.21)

где

                       (4.3.22)

и

.                       (4.3.23)

Расстояние Евклида между произвольной парой сигнальных векторов равно

.                   (4.3.24)

Для частного случая, когда амплитуда сигналов принимает ряд дискретных значений , пространственная диаграмма сигналов является прямоугольной, как показано на рис. 4.3.5.

153-1.jpg

Рис. 4.3.5. Несколько пространственных диаграмм для прямоугольной КАМ

В этом случае минимальное расстояние Евклида (между смежными точками) равно

,                      (4.3.25)

что является тем же результатом, что для AM.

Многомерные сигналы. Из вышесказанного очевидно, что цифровая модуляция несущей по амплитуде и фазе позволяет конструировать сигналы, которые соответствуют двухмерным векторам и пространственным диаграммам сигналов. Если мы хотим сконструировать сигнал, соответствующий вектору большей размерности, можем использовать или временную, или частотную, или обе области для того, чтобы увеличить размерность пространства.

Предположим, что мы имеем -мерные сигнальные векторы. Для любого  можем разделить интервал времени длины  на  подынтервалов длиной . В каждом интервале длины  можем использовать двоичную AM (одномерный сигнал), чтобы передать элемент -мерного сигнального вектора. Таким образом,  временных отрезков используется для передачи -мерного сигнального вектора.

Если  четно, отрезок длиной  можно использовать для мгновенной передачи двух компонент -мерного вектора путем независимой модуляции амплитуды квадратурных несущих соответствующими компонентами. Таким путем -мерный сигнальный вектор передается за  секунд ( временных отрезков).

Альтернативно полоса частот  может быть подразделена на  частотных отрезков, каждый шириной . -мерный сигнальный вектор можно передать через канал путем одновременной (параллельной) модуляции амплитуды  несущих, одна на каждый из  частотных отрезков. Надо позаботиться о достаточном частотном разносе  между смежными несущими с тем, чтобы не возникала взаимная интерференция между сигналами на  несущих. Если используются квадратурные несущие на каждом частотном отрезке, то -мерный вектор ( - четно) можно передать на  частотных отрезках, что сокращает используемую каналом полосу частот вдвое.

В более общем виде мы можем использовать совместно временную и частотную области для передачи -мерного сигнального вектора. Например, рис. 4.3.6 иллюстрирует разделение частотно-временной области на 12 ячеек. Таким образом, можно передать -мерный сигнальный вектор при AM или -мерный сигнальный вектор с использованием двух квадратурных несущих (КАМ) на каждом отрезке.

153-2.jpg

Рис. 4.3.6. Разделение осей времени и частоты на индивидуальные отрезки

Ортогональные многомерные сигналы. Как специальный случай конструирования многомерных сигналов с нелинейной модуляцией рассмотрим случай конструирования  ортогональных сигналов равной энергии, которые различаются по частоте и представлены как

     (4.3.26)

где эквивалентный низкочастотный сигнал определяется так:

                  (4.3.27)

Этот вид частотной модуляции (ЧМ) называется модуляцией частотным сдвигом (МЧС, FSK).

Эти формы сигналов характеризуются равной энергией и коэффициентами взаимной корреляции

.                      (4.3.28)

Вещественная часть  равна

.                       (4.3.29)

Сначала заметим, что , когда  и . Поскольку случай  соответствует соседним частотным интервалам, то  представляет минимальную величину частотного разноса между смежными сигналами для ортогональности  сигналов. Кривые зависимости  от  и  от  показаны на рис. 4.3.7. Заметим также, что , если  кратно , в то время как , когда  кратно .

154.jpg

Рис. 4.3.7. Коэффициент взаимной корреляции как функция от частотного разноса для сигналов МЧС

Для случая, когда  ансамбль из  сигналов МЧС эквивалентен -мерным векторам

                      (4.3.30)

где . Расстояние между парами сигналов

 для всех ,               (4.3.31)

что является также минимальным расстоянием. Рисунок 4.3.8 показывает диаграмму пространства сигналов для  и .

155-1.jpg

Рис. 4.3.8. Ортогональные сигналы для  и для

Биортогональные сигналы. Ансамбль из  биортогональных сигналов можно сконструировать из  ортогональных сигналов добавлением к каждому сигналу противоположного сигнала. Таким образом, требуется  измерений для конструирования ансамбля из  биортогональных сигналов. Рисунок 4.3.9 иллюстрирует ансамбль биортогональных сигналов для  и .

155-2.jpg

Рис. 4.3.9. Пространственная диаграмма биортогональных сигналов для  и

Заметим, что корреляция между парами сигналов  или 0. Соответствующие расстояния  или , причём последнее определяет минимальное расстояние.

Симплексные сигналы. Предположим, что имеется ансамбль из  ортогональных сигналов  или, что эквивалентно, векторов . Их среднее значение

.             (4.3.32)

Теперь сконструируем другой ансамбль из  сигналов путём вычитания из каждого ортогонального сигнала среднего значения

.                  (4.3.33)

Смысл вычитания сводится к переносу начала координат ансамбля  ортогональных сигналов в точку . Результирующие сигналы называют симплексными сигналами, и они имеют следующие свойства. Первое: энергия сигналов равна

.                   (4.3.34)

Второе: взаимная корреляция для любой пары сигналов одинакова и равна

.                  (4.3.35)

Следовательно, для всех  ансамбль сигналов одинаково коррелирован и требует меньшей энергии по сравнению с ортогональным ансамблем (коэффициент ослабления ). Так как была перемещена только точка начала координат сигналов, расстояние между любой парой сигналов сохраняется равным , что равно расстоянию для пары сигналов ортогонального ансамбля. Рисунок 4.3.10 иллюстрирует симплексные сигналы при  и 4. Заметим что размерность пространства сигналов .

156.jpg

Рис. 4.3.10. Пространственные диаграммы сигналов для -мерного симплекса

Формы сигналов для двоичных кодов. Ансамбль из  сигналов может быть создан ансамблем  двоичных кодовых слов вида

,                      (4.3.36)

где  или 1 для всех  и .

Каждая компонента кодового слова отображается в элементарный двоичный сигнал ФМ:

              (4.3.37)

где  и .

Таким образом,  кодовых слов  отображаются ансамблем из  сигналов .

Сигналы можно представить в векторной форме так:

,                      (4.3.38)

где  для всех  и .  называют блоковой длиной кода, оно также определяет размерность  сигналов.

Отметим, что имеются  возможных сигналов, которые можно сконструировать посредством  возможных двоичных кодовых слов. Мы можем выбрать  сигналов для передачи информации. Мы также отметим, что  возможных сигнальных точек соответствуют вершинам -мерного гиперкуба с центром в начале координат. Рисунок 4.3.11 иллюстрирует сигнальные точки для случая размерности  и 3.

157.jpg

Рис. 4.3.11. Пространственные диаграммы сигналов, создаваемых двоичными кодами

Каждый из  сигналов имеет энергию . Взаимная корреляция между каждой парой сигналов зависит от того, как мы выбрали  сигналов из  возможных. Эта тема обсуждается в гл. 7. Ясно, что соседние сигнальные точки имеют коэффициент взаимной корреляции

                  (4.3.39)

и соответствующее расстояние

.                      (4.3.40)

Этим заканчиваем наше обсуждение сигналов цифровой модуляции без памяти.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>