4.4.1. Спектр мощности сигналов линейной модуляции

Начиная с формы сигнала

,

которая отображает полосовой сигнал  через эквивалентный низкочастотный , можем выразить автокорреляционную функцию  так:

,

где  - автокорреляционная функция низкочастотного эквивалента и .

Преобразование Фурье (4.4.1) даёт желаемое выражение для спектральной плотности мощности  в виде

,           (4.4.2)

где  - спектральная плотность мощности . Достаточно определить автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности для эквивалентного низкочастотного сигнала .

Сначала рассмотрим методы линейной цифровой модуляции, для которых  можно представить в общем виде так:

,                                                  (4.4.3)

где скорость передачи канальных символов равна  симв./с, а  представляет последовательность символов, которая возникает при отображении -битовых блоков в соответствующие сигнальные точки, выбираемые по соответствующей диаграмме пространства сигналов. Отметим, что в AM последовательность  вещественна и соответствует значениям амплитуд передаваемого сигнала, но в ФМ, КАМ и комбинированной АМ-ФМ последовательность  комплексная, так как точка сигналов имеет двухмерное представление. Автокорреляционная функция случайного процесса  равна

   (4.4.4)

Предположим, что последовательность информационных символов  стационарна в широком смысле со средним и автокорреляционной функцией

                  (4.4.5)

Тогда (4.4.4) можно выразить так:

    (4.4.6)

Вторая сумма в (4.4.6), именно

- периодическая функция по переменной  с периодом . Следовательно,  - также периодическая функция по переменной  с периодом . Это означает, что

        (4.4.7)

Кроме того, среднее значение , которое равно

                       (4.4.8)

- периодическая функция по переменной  с периодом . Следовательно,  является случайным процессом, имеющим периодические средние значения и автокорреляционную функцию. Такой процесс называется циклостациоиарным процессом или периодически стационарным процессом в широком смысле, как описано в разд. 2.2.6.

Чтобы рассчитать спектральную плотность мощности циклостационарного процесса зависимость  от переменной  должна быть исключена. Это можно сделать просто путём усреднения  по  по одному периоду . Таким образом,

   (4.4.9)

Мы интерпретируем интеграл в (4.4.9) вместе с        суммой по  как временную автокорреляционную функцию  и определим её как

                                      (4.4.10)

Следовательно, (4.4.9) можно выразить так:

.                   (4.4.11)

Преобразование Фурье (4.4.11) даёт (среднюю) спектральную плотность мощности  в виде

                   (4.4.12)

где  - преобразованное Фурье для , a  определяет спектральную плотность мощности информационной последовательности, определяемую как

                                        (4.4.13)

Результат (4.4.12) иллюстрирует зависимость спектральной плотности мощности  от спектральных характеристик импульса  и информационной последовательности . Это означает, что спектральными характеристиками  можно управлять через огибающую импульса  и корреляционные характеристики информационной последовательности.

В то время как зависимость  от легко понять в (4.4.12), влияние корреляционных свойств информационной последовательности более тонкое. Прежде всего заметим, что для произвольной автокорреляционной функции  соответствующая спектральная плотность мощности  - периодическая функция по частоте с периодом . Действительно выражение (4.4.13), определяющее спектр  по , является комплексным рядом Фурье с коэффициентами Фурье . Как следствие, автокорреляционная последовательность  определяется так:

.          (4.4.14)

Во-вторых, рассмотрим случай, когда информационные символы в последовательности вещественные и взаимно некоррелированные. В этом случае автокорреляционную функцию  можно выразить так:

                                             (4.4.15)

где  означает дисперсию информационных символов. Если (4.4.15) подставить в (4.4.13), получим

.                               (4.4.16)

Сумма в (4.4.16) – периодическая функция частоты с периодом . Её можно рассмотреть как комплексный ряд Фурье для периодической последовательности -импульсов с периодом . Следовательно, (4.4.16) можно также выразить в виде

.    (4.4.17)

Подстановка (4.4.17) в (4.4.12) определяет спектральную плотность мощности  для случая, когда информационные символы не коррелированы. Получаем

.             (4.4.18)

Выражение (4.4.18) для спектральной плотности мощности специально разделено на два слагаемых, чтобы подчеркнуть два различных вида спектральных компонент. Первое определяет непрерывный спектр, и его огибающая зависит только от спектральной характеристики сигнального импульса . Второе слагаемое состоит из дискретных частотных компонент, появляющихся через интервал . Каждая такая компонента имеет мощность, пропорциональную  при . Заметим, что дискретные частотные компоненты исчезают, когда информационные символы имеют нулевое среднее, т.е. . Это условие обычно желательно для техники цифровой модуляции. Оно выполняется, когда информационные символы равновероятны и симметрично расположены на комплексной плоскости. Таким образом, проектировщик системы может управлять спектральными характеристиками сигналов цифровой модуляции путём специального подбора характеристик информационной последовательности, которую нужно передать.

Пример 4.4.1. Чтобы проиллюстрировать влияние  на огибающую спектра, рассмотрим прямоугольный импульс, показанный на рис.4.4.1(а). Преобразование Фурье от  равно

Рис. 4.4.1. Прямоугольный импульс и его спектральная плотность энергии  

Следовательно,

.                                    (4.4.19)

Этот спектр показан на рис. 4.4.1(b). Заметим, что спектральная плотность принимает нулевые значения в точках оси частот, кратных , и убывает обратно квадрату частоты. Как следствие наличия нулей в , все дискретные спектральные компоненты в (4.4.18), кроме одной, исчезают. Подставляя (4.4.19) в (4.4.18), имеем

   (4.4.20)

Пример 4.4.2. В качестве второй иллюстрации влияния на огибающую спектра импульса  рассмотрим импульс приподнятого косинуса

           (4.4.21)

График этой функции дан на рис. 4.4.2(a). Его преобразование Фурье легко получить, и его можно выразить в виде

.                       (4.4.22)

Квадрат амплитуды  показан на рис. 4.4.2(b). Интересно отметить, что спектр имеет нули в точках ,  Следовательно, все дискретные спектральные компоненты в (4.4.18), кроме тех, которые на частотах  и , исчезают. По сравнению со спектром при прямоугольном импульсе спектр приподнятого косинуса имеет более широкий главный лепесток, но хвосты уменьшаются обратно .

Рис. 4.4.2. Импульс приподнятого косинуса и его спектральная плотность энергии

Пример 4.4.3. Чтобы проиллюстрировать влияние на огибающую спектра операций, выполняемых по отношению к информационной последовательности, рассмотрим двоичную последовательность , по которой формируем символы информационной последовательности

                                                                      (4.4.23)

Предполагается, что последовательность  содержит некоррелированные случайные величины, каждое с нулевым средним и единичной дисперсией. Тогда автокорреляционная функция последовательности  равна

                   (4.4.24)

Следовательно, спектральная плотность мощности входной последовательности равна

,        (4.4.25)

и соответствующая спектральная плотность мощности для (низкочастотного) модулирующего сигнала

.                             (4.4.26)