4.4.2. Спектр мощности для сигналов ЧМНФ и МНФ

В этом разделе мы получим спектральную плотность мощности для класса сигналов МНФ с постоянной амплитудой, которые были описаны в разд. 4.3.3. Начнём с расчёта автокорреляционной функции и её преобразования Фурье, как мы это сделали в случае линейной модуляции. Сигнал МНФ с постоянной амплитудой выражается так:

(4.4.27)

где

(4.4.28)

Каждый символ последовательности может принять одно из значений . Эти символы статистически независимы и одинаково распределены с априорными вероятностями

(4.4.29)

Импульс равен нулю вне интервала , , и для . Автокорреляционная функция эквивалентного низкочастотного сигнала равна

(4.4.30)

Сначала выразим сумму в показателе экспоненты как произведение экспонент. Результат равен

(4.4.31)

Далее найдём математическое ожидание по символам . Поскольку эти символы статистически независимы, получаем

(4.4.32)

Наконец, усреднённая во времени автокорреляционная функция равна

(4.4.33)

Хотя (4.4.32) подразумевает, что имеется неограниченное число множителей, импульс для и , а для . Как следствие, только ограниченное число слагаемых в произведении имеет ненулевые значения показателя экспоненты. Таким образом, (4.4.32) можно существенно упростить. Если принять , где и то усреднённая автокорреляционная функция (4.4.33) приводится к результату

(4.4.34)

Рассмотрим для . В этом случае (4.4.34) можно выразить так:

(4.4.35)

где - характеристическая функция для случайной последовательности определяется так:

(4.4.36)

а - остаточная часть усреднённой автокорреляционной функции, которую можно выразить как

(4.4.37)

Таким образом, можно представить произведением и степени , как указанно в (4.4.35) для . Эти свойства используются ниже.

Преобразование Фурье даёт среднюю спектральную плотность мощности

(4.4.38)

Но

(4.4.39)

С учетом (4.4.35) интеграл в области можно выразить так:

(4.4.40)

Теперь пусть Тогда (4.4.40) выражается как

(4.4.41)

Характеристическая функция удовлетворяет условию . Для значений , для которых , сумма в (4.4.41) сходится к результату

(4.4.42)

В этом случае (4.4.41) приводит к виду

(4.4.43)

Объединяя (4.4.38), (4.4.39) и (4.4.43), получаем формулу для спектральной плотности мощности сигнала МНФ в виде

(4.4.44)

Это требуемый результат, когда . В общем, спектральная плотность мощности вычисляется численно по формуле (4.4.44). Усреднённую автокорреляционную функцию для области можно вычислять численно из (4.4.34). Для значений , для которых например , где - целое, можно положить

(4.4.45)

Тогда сумма в (4.4.41) даёт

(4.4.46)

Таким образом, спектральная плотность мощности теперь содержит дискретные компоненты, локализованные на частотах

(4.4.47)

Результат (4.4.46) можно объединить с (4.4.41) и (4.4.39), чтобы получить полную спектральную плотность мощности, которая включает компоненту с непрерывным спектром и компоненту с дискретным спектром.

Вернёмся к случаю . Если информационные символы равновероятны, т.е.

для всех ,

то характеристическая функция упрощается до выражения

(4.4.48)

Заметим, что в этом случае вещественно. Усреднённая автокорреляционная функция, определяемая (4.4.34), также упрощается в этом случае:

(4.4.49)

Соответствующее выражение для спектральной плотности мощности

(4.4.50)

Спектральная плотность мощности для ЧМНФ. Замкнутое выражение для спектральной плотности мощности можно получить из (4.4.50) тогда, когда огибающая импульса прямоугольная и равна нулю вне интервала . В этом случае линейно для . Результирующую спектральную плотность мощности можно выразить так:

(4.4.51)

где

(4.4.52)

Спектральная плотность мощности ЧМНФ для показана соответственно на рис. 4.4.3-4.4.5 как функция нормированной частоты при индексе модуляции в качестве параметра. Заметим, что на графиках показана только половина занимаемой полосы частот. Начало координат соответствует частоте несущей .

Нормированная частота Нормированная частота

Рис. 4.4.3. Спектральная плотность мощности двоичной ЧМНФ

Графики показывают, что спектр ЧМНФ относительно узкий и хорошо ограничен при . Когда приближается к единице, в спектре отмечаются большие выбросы, и при , когда , мы находим, что пики возникают на частотах. Когда , спектр получается значительно шире. В системах связи, в которых используется ЧМНФ, индекс модуляции рассчитывается так, чтобы экономить полосу, так что

Нормированная частота Нормированная частота

Нормированная частота

Рис 4.4.4. Спектральная плотность мощности 4-позиционной ЧМНФ

Нормированная частота Нормированная частота

(a) (b)

Рис.4.4.5. Спектральная плотность мощности 8-позиционной ЧМНФ

Частный случай двоичной ЧМНФ с (или ) и соответствует ММС. В этом случае спектр сигнала

(4.4.53)

В (4.4.52) сигнальная амплитуда . В противоположность этому спектр четырёхфазной офсетной (квадратурной) ФМ (ОКФМ) с прямоугольным импульсом длительности равен

(4.4.54)

Чтобы иметь возможность сравнить эти спектральные характеристики, мы должны нормировать частоту по битовой скорости или битовому интервалу . Поскольку ММС двоичная ЧМ, то следует, что в (4.4.53) . С другой стороны, для ОКФМ , так что (4.4.54) принимает вид

(4.4.55)

Спектры сигналов ММС и ОКФМ показаны на рис. 4.4.6.

Заметим, что главная доля спектра в системе ММС на 50 % шире, чем для ОКФМ. Однако боковые доли в ММС уменьшаются значительно быстрее, чем в ОКФМ. Например, если сравним полосу , которая содержит 99 % общей мощности, найдём, что для ММС и для ОКФМ. Следовательно, ММС имеет более узкую концентрацию спектра, если её оценить в долях мощности вне полосы . Графики для внеполосных долей мощности ОКФМ и ММС даны на рис. 4.4.7. Заметим, что ММС существенно эффективнее по полосе, чем ОКФМ. Эта эффективность объясняет популярность ММС во многих цифровых сетях связи.

Большую частотную эффективность, чем при ММС, можно достичь уменьшением индекса модуляции. Однако в этом случае сигналы ЧМ не будут больше ортогональными, и это приведёт к росту вероятности ошибки.

Спектральные характеристики МНФ. В общем занимаемая полоса частот зависит от выбора индекса модуляции , формы огибающей импульса и числа сигналов . Как мы видели для ЧМНФ, малое значение приводит к МНФ-сигналам с относительно узкой занимаемой полосой, в то время как большие значения приводят к сигналам с большой занимаемой полосой. Здесь рассмотрим случай более общего сигнала МНФ.

Выбор гладкого импульса, такого как приподнятый косинус

(4.4.56)

где для полного отклика и для парциального отклика, приводит к узкой занимаемой полосе и, следовательно, к большей частотной эффективности, чем при использовании прямоугольного импульса. Например, рис. 4.4.8 иллюстрирует спектральную плотность мощности для двоичной МНФ с различными парциальными откликами импульса приподнятого косинуса , когда . Для сравнения также показаны характеристики двоичной ЧМНФ. Заметим, что с ростом импульс становится глаже, и соответственно занимаемая сигналом полоса сокращается.

Нормированный частотный сдвиг относительно несущей

Нормированная частота

Влияние изменения индекса модуляции в сигнале МНФ иллюстрируется на рис. 4.4.9 для случая и импульса приподнятого косинуса формы данной (4.4.56) с . Заметим, эти спектральные характеристики похожи на те, которые ранее иллюстрировались для ЧМНФ, за исключением того, что этот спектр уже из-за использования гладкой огибающей импульса.

Наконец, на рис. 4.4.10 мы иллюстрируем зависимость доли внеполосной мощности от нормированной частоты для двухамплитудной ЧМНФ с несколькими различными значениями .

Нормированная частота

Рис. 4.4.10. Относительная величина внеполосной мощности для двухкомпонентной ЧМНФ (Milligan, 1988)