4.4.3. Спектр мощности для модулированных сигналов с памятью

В двух последних разделах мы определили спектральные характеристики для класса линейно модулированных сигналов без памяти и для класса модулированных по фазе сигналов, таких как ЧМНФ и МНФ, которые нелинейны и обладают памятью. В этом разделе рассмотрим спектральные характеристики линейно модулированных сигналов; которые обладают памятью и которые можно моделировать марковской цепью. Мы уже встречали такие сигналы в разд. 4.3.2, в котором описали несколько типов базовых сигналов.

Спектральную плотность мощности цифрового модулирующего сигнала, который описывается цепью Маркова, можно получить при помощи базовой процедуры, данной в предыдущих разделах. Сначала определяется автокорреляционная функция, а затем с помощью преобразования Фурье находится спектральная плотность мощности. Для сигналов, которые описываются цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей , спектральную плотность мощности сигнала можно выразить в общем виде (см. Тичворт и Велч, 1961):

(4.4.57)

где - преобразование Фурье для сигнала ,

- преобразование Фурье дискретной во времени последовательности , определенное выражением

(4.4.58)

- номер состояния модулятора. Слагаемое определяет вероятность того, что сигнал передаётся в -м сигнальном интервале после передачи сигнала . Таким образом, являются вероятностями переходов в матрице вероятностей переходов . Заметим, что .

Если метод модуляции без памяти, то переданный в каждом сигнальном интервале сигнал не зависит от сигналов, переданных в предыдущих сигнальных интервалах. Спектральная плотность мощности результирующего сигнала в этом случае можно всё ещё выразить в виде (4.4.57), если матрицу переходных вероятностей заменить на

(4.4.59)

и навязать условие для всех . Только при этих условиях выражение для спектральной плотности мощности оказывается функцией стационарных вероятностей состояний и, следовательно, ведёт к простейшей форме

(4.4.60)

Видно, что наш предыдущий результат для спектральной плотности мощности линейной модуляции без памяти, определяемый (4.4.18), можно рассматривать как частный случай (4.4.60), в котором все сигналы идентичны, за исключением ряда скалярных множителей, которые передают цифровую информацию (задача 4.30).

Мы также видим, что первое слагаемое в выражении для спектральной плотности мощности (4.4.57) или (4.4.60) состоит из дискретных частотных компонент. Этот линейчатый спектр исчезает, когда

(4.4.61)

Условие (4.4.61) обычно навязывается для практических систем связи и легко удовлетворяется подходящим выбором форм сигнала (задача 4.31).

Теперь определим спектральную плотность мощности базовых модулирующих сигналов, описанных в разд. 4.3.2. Сначала рассмотрим NRZ-сигнал, который характеризуется двумя сигналами и , где - прямоугольный импульс амплитуды . Для (4.4.60) даёт

(4.4.62)

где

(4.4.63)

Заметим, что, когда линейчатый спектр исчезает и определяется так:

(4.4.64)

NRZI-сигнал характеризуется матрицей переходных вероятностей

(4.4.65)

Заметим, что в этом случае для всех . Следовательно, частная форма спектра плотности мощности, даваемая (4.4.62), хорошо подходит к модуляции по этому формату. Следовательно, спектральная плотность мощности NRZI-сигнала идентична спектру NRZ-сигнала.

Модуляция с задержкой имеет матрицу переходных вероятностей

(4.4.66)

и стационарные вероятности состояний для Степени можно получить путём использования соотношения

, (4.4.67)

где - матрица корреляции сигнала с элементами

(4.4.68)

а четыре сигнала показаны на рис. 4.3.15. Легко видеть, что

(4.4.69)

Следовательно, степени можно получить из соотношения

(4.4.70)

Используя (4.4.66), (4.4.69) и (4.4.70), в (4.4.57) можно найти спектральную плотность мощности при модуляции с задержкой. Её можно выразить в форме

(4.4.71)

где

Спектр этих базовых модулирующих сигналов показан на рис. 4.4.11.

Видно, что спектр сигналов NRZ и NRZI имеет максимум при . Модуляция с задержкой имеет более узкий спектр и относительно меньший уровень для нулевых частот. Занимаемая ею полоса частот существенно уже, чем у сигнала NRZ. Эти две характеристики делают модуляцию с задержкой привлекательным выбором для каналов, которые не пропускают постоянную составляющую, таких, как средства магнитной записи.

Нормированная частота