ЗАДАЧИ

4.1. Докажите следующие свойства преобразования Гильберта:

4.2. Если  - стационарный случайный процесс с  автокорреляционной функцией  и спектральной плотностью мощности , тогда покажите, что  и

4.3. Предположим, что  - узкополосный стационарный случайный процесс с нулевым средним, представленный (4.1.37), (4.1.38) или (4.1.39). Автокорреляционная функция эквивалентного низкочастотного процесса определяется так:

а) Покажите, что

b) Предположим, что  и пусть

Определите и

4.4.Определите автокорреляционную функцию случайного процесса

где  - константа, а  - равномерно распределённая случайная фаза, т.е.

4.5.Докажите, что  - в общем случае комплексный сигнал, и определите условия, когда он веществен. Предположите, что  - вещественный полосовой сигнал.

4.6.Предположите, что  или вещественный, или комплексный сигнал, который представлен приближённо линейной комбинацией ортогональных функций , т.е.

где

Определите коэффициенты  в выражении  так, чтобы минимизировать энергию

и соответствующую остаточную ошибку .

4.7. Предположите, что имеется ансамбль из  комплексных сигналов  Получите уравнения для процедуры Грама-Шмидта, которые приводят к ансамблю ортонормированных сигналов.

4.8. Определите коэффициенты корреляции  четырёх сигналов показанных на рис. 4.2.1, и соответствующие расстояния Евклида.

4.9. Рассмотрите ансамбль  ортогональных сигналов , каждый из которых имеет одинаковую энергию . Найдите новый ансамбль из сигналов так, чтобы

Покажите, что сигналов  имеют равную энергию, определяемую так:

и они одинаково коррелированы с коэффициентом корреляции

4.10. Рассмотрите три сигнала , показанных на рис. Р4.10.

a) Покажите, что эти сигналы ортонормированы.

b) Выразите сигнал  как взвешенную линейную комбинацию  если

и определите коэффициенты взвешивания.

Рис.4.10.

4.11. Рассмотрите четыре формы сигналов, показанных на рис. Р4.11.

a) Определите размерность сигналов и ансамбль базисных функций.

b) Используйте базисные функции для представления четырёх сигналов векторами

c) Определите минимальное расстояние между любой парой векторов.

Рис.4.11.

4.12. Определите ансамбль ортогональных функций для четырёх сигналов, показанных на рис. Р4.12.

Рис.4.12.

4.13. Низкочастотный гауссовский случайный процесс  имеет спектральную плотность мощности

Определите спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию случайного сигнала

4.14. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный модулирующий сигнал в виде

где  и  - две последовательности статистически независимых двоичных символов, а  - синусоидальный импульс, который определяется так:

Этот вид сигнала рассматривается как четырёхфазовая ФМ, причём огибающая импульса  составляет полпериода синусоиды. Каждая из информационных последовательностей  и  передаётся со скоростью  бит/с, и, следовательно, общая скорость передачи равна . Две последовательности синхронизированы во времени для передачи с задержкой на интервале . Как следствие, сигнал  назван сигналом четырёхфазовой ФМ со сдвигом.

а) Докажите, что огибающая  - константа, независимо от информационных символов в синфазной компоненте и информационных символов  в квадратурной компоненте. Другими словами, амплитуда несущей, используемая для передачи, постоянна.

b) Определите спектральную плотность мощности .

c) Сравните спектральную плотность мощности, полученную в (b), со спектральной плотностью мощности сигнала ММС. Какое заключение Вы можете сделать из этих сравнений?

4.15. Рассмотрите сигнал четырёхуровневой ФМ, представленной эквивалентным низкочастотным сигналом

где  принимает одно из четырёх возможных значений  с равной вероятностью. Последовательность информационных символов  статистически независима.

а) Определите и нарисуйте спектральную плотность мощности , когда

b) Повторите (а), когда

с) Сравните ширины полос спектров, полученных в (а) и (b), на уровне ослабления в 3 дБ и по полосе, определяемой первым нулём.

4.16.Случайный процесс  определён так:

где  - случайные величины. Покажите, что процесс  стационарен в широком смысле, если, и только если .

4.17. Выполните ортогонализацию по Граму-Шмидту сигналов рис. 4.2.1 (а) в порядке  и затем получите ансамбль ортогональных функций . Определите векторные представления сигналов  используя ортонормированные функции . Определите также энергии сигналов.

4.18. Определите представление в пространстве сигналов четырёх сигналов показанных на рис. Р4.18, используя ортонормальные базисные функции  и . Нарисуйте диаграмму пространства состояний для четырёх сигналов и покажите, что этот ансамбль сигналов эквивалентен ансамблю четырёхфазовой ФМ.

Рис.4.18.

4.19. Спектральная плотность мощности циклостационарного случайного процесса

была получена в разд. 4.4.1 путём усреднения автокорреляционной функции  за период  процесса, а затем вычислено преобразование Фурье от усреднённой корреляционной функции. Альтернативный подход заключается в превращении циклостационарного процесса в стационарный процесс  путём добавления случайной величины , равномерно распределённой на интервале  так что

и нахождении спектральной плотности для  как преобразования Фурье автокорреляционной функции стационарного процесса . Получите результат (4.4.11) путём вычисления автокорреляционной функции  и её преобразования Фурье.

4.20. Сигнал AM с парциальным откликом генерируется так, как показано на рис. Р4.20, - путём возбуждения идеального ФНЧ с полосой  последовательностью

со скоростью  символов/с. Последовательность  состоит из двоичных символов, выбираемых независимо из алфавита  с равной вероятностью. Следовательно, профильтрованный сигнал имеет вид

a) Нарисуйте диаграмму пространства состояний сигнала  и определите вероятность появления каждого символа.

b) Определите автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности трёхуровневой последовательности .

c) Сигнальные отсчёты последовательности  образуют цепь Маркова. Нарисуйте эту марковскую цепь и укажите вероятности перехода отдельных состояний.

4.21. Эквивалентный низкочастотный сигнал AM можно записать в виде

Предположим, что  является прямоугольным импульсом, а

где  - последовательность некоррелированных двоичных случайных величин которые возникают с равной вероятностью.

a) Определите автокорреляционную функцию последовательности .

b) Определите спектральную плотность мощности .

c) Повторите (b) для случая, когда  принимает значения .

Рис. Р4.20.

4.22. Покажите, что  является однополосным сигналом, где сигнал  ограничен полосой  - его преобразование по Гильберту.

4.23. Используйте результаты полученные в разд. 4.4.3 для того, чтобы определить спектральную плотность мощности сигнала двоичной МЧС, определяемые так

  

где и ,а  и  - произвольные положительные целые числа. Предположите, что . Нарисуйте спектр и сравните этот результат со спектром сигнала ММС.

4.24. Используйте результаты, полученные в разделе 4.4.3, для того чтобы определить спектральную плотность мощности сигнала многоуровневой ЧМ, определяемого так:

  .

Предположите, что вероятности  для всех . Нарисуйте график спектральной плотности мощности.

4.25. Квадратурный сигнал с парциальным откликом (КСПО) генерируется двумя отдельными сигналами с парциальным откликом вида, описанного в задаче 4.20. Следовательно, КСПО представляется так:

где

Последовательности  не коррелированы, и  с равной вероятностью.

а) Нарисуйте диаграмму пространства символов для КСПО и определите вероятность появления каждого символа.

b) Нарисуйте модель марковской цепи и укажите переходные вероятности для КСПО.

c) Определите автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности для .

4.26. Определите автокорреляционные функции для модулированных сигналов ММС и КФМС, основываясь на предположении, что информационные последовательности для каждого из двух сигналов некоррелированы и с нулевым средним.

4.27. Постройте фазовое дерево, решётки состояний для МНФ с парциальным откликом  и

4.28. Определите число конечных фазовых состояний на диаграмме в решётке состояний для двоичной ЧМНФ с полным откликом, когда  в двоичной ЧМНФ с парциальным откликом и  при

4.29. Убедитесь, что 16 QAM можно представить как суперпозицию двух четырёхфазовых сигналов с постоянной огибающей, где каждая компонента отдельно усиливается до сложения, т.е.

где  - статистически независимые двоичные последовательности с элементами из ряда , а  - коэффициент усиления. Затем покажите, что результирующий сигнал эквивалентен сигналу

и определите  и , через

4.30. Используйте результат (4.4.60), чтобы получить выражение для спектральной плотности мощности при линейной модуляции без памяти, определите (4.4.18) при условии, что

где  - один из  возможных передаваемых символов, которые появляются с равными вероятностями.

4.31. Убедитесь, что достаточное условие отсутствия дискретных компонент спектра в (4.4.60) – это

Является ли условие необходимым? Объясните ваш ответ.

4.32. Информационная последовательность  является последовательностью случайных величин, каждая из которых принимает значение  с равной вероятностью. Эта последовательность передаётся посредством базового модулирующего сигнала при помощи двухфазной схемы кодирования и определяется так:

а сигнал  показан на рис. Р4.32.

a) Найдите спектральную плотность мощности сигнала .

b) Предположите, что желательно иметь нуль в спектре мощности на частоте . С этой целью используйте схему предварительного кодирования , где  - некоторая постоянная, и далее передайте последовательность , используя тот же сигнал . Можно ли выбрать  так, чтобы образовать нуль на частоте ? Если да, какова желательная величина  и каков результирующий спектр мощности?

с) Теперь предположите, что мы хотим иметь нуль на всех частотах, кратных . Возможно ли иметь эти нули при подходящем выборе  из предыдущей задачи? Если нет, какую схему предварительного кодирования можете предложить, чтобы всё же получить требуемые нули?

Рис. Р4.32

4.33. Начиная с определения матрицы переходных вероятностей для модуляции с задержкой, данной (4.4.66), покажите, что соотношение

имеет место и, следовательно,

4.34. Два сигнала для передачи ЧМ с разрывом фазы определяются так:

где  - равномерно распределённые случайные величины на интервале Сигналы  имеют одинаковые вероятности.

a) Определите спектральную плотность мощности сигнала ЧМ.

b) Покажите, что спектральная плотность мощности уменьшается пропорционально .