5.1.2. Согласованный фильтр как демодулятор

Вместо использования набора из  корреляторов для генерирования величин  мы можем применить набор из  линейных фильтров. Для конкретности предположим, что импульсная характеристика фильтров такова:

                         (5.1.14)

где  базисных функций, и  вне интервала . Выходы этих фильтров равны

    (5.1.15)

Взяв отсчёт выхода в точке , получим

           (5.1.16)

Следовательно, отсчёт фильтров в точке  точно определяет ансамбль величин , полученных на выходе  линейных корреляторов. Фильтр, импульсная характеристика которого , где  предполагается заключенным в интервале , называется согласованным фильтром для сигнала .

Пример сигнала и импульсной характеристики согласованного с ним фильтра показан на  рис. 5.1.5.

Рис. 5.1.5. Сигнал  (a) и импульсная характеристика фильтра, согласованного с  (b)

Отклик фильтра на сигнал  равен

                                                                (5.1.17)

что по определению является временной автокорреляционной функцией сигнала . Рисунок 5.1.6 иллюстрирует  для треугольного импульса, показанного на рис. 5.1.5, а.

Заметим, что автокорреляционная функция  является чётной функцией  и имеет пик в точке .

Рис. 5.1.6. Отклик согласованного фильтра определяет автокорреляционную функцию

В случае демодулятора, описанного выше, согласованных фильтров согласованы с базисными функциями . Рис. 5.1.7 иллюстрирует демодулятор па согласованных фильтрах, который выдает наблюдаемые величины

Рис. 5.1.7. Демодулятор на основе согласованных фильтров.

Свойства согласованного фильтра. Согласованный фильтр имеет ряд интересных свойств. Докажем наиболее существенное свойство, которое состоит в следующем: если сигнал  подвергается воздействию АБГШ, то фильтр, согласованный с сигналом , максимизирует на выходе отношение сигнал/шум (ОСШ).

Чтобы доказать это свойство, предположим, что принимаемый сигнал  состоит из сигнала  и АБГШ  с нулевым средним и спектральной плотностью мощности  Вт/Гц. Предположим, что сигнал  прошёл через фильтр с импульсной характеристикой  и берётся отсчёт на выходе в точке . Отклик фильтра на сигнальную и шумовую компоненту равен

               (5.1.18)

В точке отсчёта  сигнальная и шумовая компоненты равны

            (5.1.19)

где  представляет сигнальную компоненту, а  - шумовую компоненту. Задача сводится к выбору импульсной характеристики фильтра, который максимизирует на выходе отношение сигнал/шум (ОСШ), определяемое так:

                                                                                   (5.1.20)

Знаменатель в (5.1.20) определяет дисперсию шумовой компоненты на выходе фильтра. Определим , т.е. дисперсию выходного шума. Имеем

              (5.1.20)

Заметим, что эта дисперсия зависит от спектральной плотности шума на входе и энергии импульсной характеристики . Подставив  и  в (5.1.21),  получим для ОСШ на выходе фильтра выражение

        (5.1.22)

Так как знаменатель в  зависит от энергии , максимум  по  можно получить максимизацией числителя в предположении, что знаменатель фиксирован. Максимизация числителя выполняется легко использованием неравенства Коши-Шварца, которое в общем гласит, что если  и  - сигналы с ограниченной энергией, то

           (5.1.23)

с равенством, когда  - произвольная константа. Если положим  и , то ясно, что ОСШ максимизируется, когда  т.е.  согласовано с сигналом . Константа  не входит в ОСШ, так как она одновременно присутствует в числителе и знаменателе. Выходное (максимальное) ОСШ, получаемое при помощи согласованного фильтра, равно

                                           (5.1.24)

Заметим, что выходное ОСШ у согласованного фильтра зависит только от энергии сигнала , но не от детальных характеристик . Это другое интересное свойство согласованного фильтра.

Интерпретация согласованного фильтра в частотной области. Согласованный фильтр имеет интересную интерпретацию в частотной области. Поскольку  преобразование Фурье такого сигнала

                      (5.1.25)

Видим, что согласованный фильтр имеет частотную характеристику, которая комплексно сопряжена с частотной характеристикой сигнала, и множитель  который определяет задержку сигнала на . Другими словами,  так что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра идентична амплитудно-частотной характеристике сигнала. С другой стороны, фазовая характеристика  противоположна по отношению к фазочастотной характеристике сигнала .

Если сигнал со спектром  проходит через согласованный фильтр, то отклик фильтра на этот сигнал имеет спектр . Следовательно, сигнальная составляющая на выходе фильтра

          (5.1.26)

В точке  имеем

                             (5.1.27)

причём последний шаг преобразования следует из соотношения Парсеваля.

Шум на выходе фильтра имеет спектральную плотность мощности

                                                                               (5.1.28)

Следовательно, суммарная мощность шума на выходе согласованного фильтра

   (5.1.29)

Выходное ОСШ равно отношению мощности сигнала

                                                                                                     (5.1.30)

к мощности шума . Следовательно,

                                                (5.1.31)

что совпадает с результатом (5.1.24).

Пример 5.1.2. Рассмотрим  биортогональных сигналов для передачи информации по каналу с АБГШ. Два сигнала из этого ансамбля с положительной полярностью показаны на рис. 5.1.8, а. Считается, что шум имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности . Определим базисные функции для этого ансамбля сигналов, импульсную характеристику согласованного фильтра в качестве демодулятора и выходной сигнал согласованного фильтра-демодулятора, когда передан сигнал

Ансамбль из  биортогональных сигналов имеет размерность . Следовательно, требуются две базисные функции для представления сигналов. Согласно рис. 5.1.8 выберем эти базисные функции  и  так:

                                         (5.1.31)

Эти два сигнала иллюстрируются рис. 5.1.8, а. Импульсные характеристики фильтров, согласованных с этими сигналами, равны

Рис. 5.1.8. Базисные функции и отклики согласованных фильтров на сигнал  для примера 5.1.2

         (5.1.33)

Они иллюстрируются на рис. 5.1.8, b.

Если передан , то сигналы на выходе согласованных фильтров  и  (без шумов) имеют вид, показанный на рис. 5.1.8, с. Поскольку берутся отсчёты выходных сигналов в точке , то видим, что , а . Заметим, что  - это энергия сигнала. Вектор сигналов, формируемый на выходе согласованных фильтров в точке , равен

                                                                        (5.1.34)

где  и  - шумовые компоненты на выходе согласованных фильтров, определяемые так:

                                         (5.1.35)

Ясно, что . Дисперсии шумовых компонент на выходе фильтра

                    (5.1.36)

Видим, что  для первого согласованного фильтра

                                             (5.1.37)

что совпадает с нашим предыдущим результатом. Заметим также, что четыре возможных выхода двух согласованных фильтров, соответствующих передаваемым сигналам, равны