Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


5.1.1. Корреляционный демодулятор

В этом разделе мы опишем корреляционный демодулятор, который разлагает принимаемый сигнал и шум на -мерные векторы. Другими словами, сигнал и шум разлагаются в линейную взвешенную сумму ортонормированных базисных функций . Считается, что базисных функций  покрывают пространство сигналов так, что каждый из возможных переданных сигналов из ансамбля  может быть представлен как взвешенная линейная комбинация . Для шума функции не покрывают всё его пространство. Однако, как мы увидим ниже, компоненты шума, которые попадают вне пространства сигналов, не влияют на детектирование сигнала.

Предположим, что принимаемый сигнал  прошел через параллельный блок из  взаимных корреляторов, которые вычисляют его проекции на  базисных функций , как показано на рис. 5.1.3.

Эти проекции равны

                           (5.1.2)

где

                                   (5.1.3)

Сигнал теперь представлен вектором  с компонентами . Их величины зависят от того, какой из  сигналов был передан. Компоненты  являются случайными величинами, возникшими из-за присутствия аддитивного шума.

Рис. 5.1.3. Демодулятор по корреляционной схеме

Действительно, принимаемый сигнал  на интервале  можно выразить так:

       (5.1.4)

Слагаемое , определённое как

                                                                            (5.1.5)

является случайным гауссовским процессом с нулевым средним, который представляет разницу между действительным шумовым процессом  и той его частью, которая соответствует проекции  на базисные функции  Как увидим ниже,  не влияет на качество решения о переданном сигнале. Следовательно, решение можно сделать, основываясь на выходах корреляторов .

Поскольку сигналы  детерминированы, то сигнальные компоненты  детерминированы. Компоненты шума  гауссовские, их средние значения равны

                                                  (5.1.6)

для всех . Их ковариации (в том числе дисперсии) равны

       (5.1.7)

где  когда , и равно нулю, если это условие не выполняется. Следовательно,  шумовых компонент  - некоррелированные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковой дисперсией

Из вышеизложенного следует, что выходы корреляторов , определяемые -м переданным сигналом, являются гауссовскими случайными величинами со средними

                                                                      (5.1.8)

и одинаковыми дисперсиями.

                                                                                                     (5.1.9)

Поскольку компоненты шума  являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами, они также статистически независимы. Как следствие, выходы корреляторов , определяемые переданным -м сигналом, - статистически независимые гауссовские случайные величины. Следовательно, условные плотности вероятности случайных величин  равны

                    (5.1.10)

где

            (5.1.11)

Подставив (5.1.11) в (5.1.10), получим совместную условную ФПВ

                   (5.1.12)

В заключение покажем, что выходы корреляторов        являются достаточной статистикой для принятия решения о том, какой из  сигналов был передан, т.е. что никакая дополнительная полезная информация не может быть извлечена из остаточного шумового процесса . В самом деле, процесс  не коррелирован с выходами корреляторов , т.е.

                     (5.1.13)

Поскольку  и  являются гауссовскими и некоррелированными, они также статистически независимы. Следовательно,  не содержит информацию, которая касается вопроса о том, какой сигнал передан. Вся относящаяся к делу информация находится в выходных данных коррелятора . Следовательно,  можно пренебречь.

Рис.5.1.4. Сигнальный импульс для примера 5.1.1

Пример 5.1.1. Рассмотрим -позиционный ансамбль базовых сигналов, в котором огибающая базового импульса  прямоугольная, как показано на рис. 5.1.4. Аддитивный шум – белый гауссовский шум с нулевым средним. Определим базисную функцию  и выход демодулятора корреляционного типа.

Энергия прямоугольного импульса равна

Поскольку ансамбль AM сигналов имеет размерность , есть лишь одна базисная функция . Она определяется так

Выход демодулятора корреляционного типа равен

Интересно отметить, что когда  - прямоугольная функция, коррелятор оказывается простым интегратором. Если подставим выражение для , получим

где для шумового слагаемого  и

ФПВ для выходного отсчёта равна

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>