5.2.2. Вероятность ошибки для M-позиционных ортогональных сигналов

Для ортогональных сигналов равной энергии оптимальный детектор выберет сигнал, который приводит к наибольшей корреляции между принимаемым вектором  и каждым из  возможных к передаче сигнальных векторов  т.е.

       (5.2.12)

Чтобы рассчитать вероятность ошибки, предположим, что передаётся сигнал . Тогда принимаемый сигнальный вектор

                                 (5.2.13)

где  - взаимно независимые случайные гауссовские величины с нулевыми средними и дисперсией . В этом случае выходы набора корреляторов равны

                                           (5.2.14)

Заметим, что скалярный множитель  можно исключить путём деления всех выходов на . Тогда с учётом нормирования ФПВ сигнала на выходе первого коррелятора  равна

                   (5.2.15)

а ФПВ сигналов на выходах остальных  корреляторов равны

   (5.2.16)

Математически удобно сначала найти вероятность того, что детектор осуществляет правильный приём. Это вероятность того, что  больше, чем каждый из  выходов корреляторов . Вероятность этого события определяется так:

   (5.2.17)

где  - совместная вероятность того, что  меньше, чем  при данном . Затем эта совместная вероятность усредняется по всем . Так как  статистически независимы, то совместная вероятность определяется произведением  собственных вероятностей вида

     (5.2.18)

Эти вероятности одинаковы для , и, следовательно, совместная вероятность приводит к (5.2.18) в степени . Таким образом, вероятность правильного приёма

  (5.2.19)

а вероятность ошибки (-битового) символа равна

                                                                         (5.2.20)

где

      (5.2.21)

Такое же выражение для вероятности ошибки получим при передаче любого из других  сигналов. Поскольку все сигналы равновероятны, то выражение  по формуле (5.2.21) определяет и среднюю вероятность ошибки. Расчёт по этой формуле можно выполнить численно.

Для сравнения качества различных методов цифровой модуляции желательно иметь зависимость вероятности ошибки от ОСШ на бит  вместо ОСШ на символ  При  каждый символ передаёт  бит информации, и, следовательно,  Таким образом, (5.2.21) можно выразить через  подстановкой .

Иногда также желательно выразить вероятность ошибки символа через эквивалентную вероятность ошибки на бит.

Для равновероятных ортогональных сигналов все вероятности ошибки на символ равновероятны, и они возникают с вероятностью

                                                                  (5.2.22)

Далее имеется  возможностей путей, при которых из  переданных битов  приняты с ошибкой. Следовательно, среднее число ошибочных битов на -битовый символ равно

                                     (5.2.23)

а средняя вероятность ошибки на бит точно определяется делением (5.2.23) на -число бит на символ. Таким образом,

                                  (5.2.24)

Кривые зависимости вероятности ошибки на бит от ОСШ на бит  даны на рис. 5.2.5 для .

Рис. 5.2.5. Вероятность ошибки на бит для когерентного детектирования ортогональных сигналов

Эти кривые показывают, что с увеличением числа сигналов  можно уменьшить ОСШ на бит, требуемое для заданной вероятности ошибки на бит. Например, чтобы достичь для  требуется ОСШ на бит немного больше, чем 12 дБ, но если увеличить до 64 сигналов ( бит/символ), требуемое ОСШ на бит станет равным примерно 6 дБ. Таким образом, реализуется экономия выше 6 дБ (сокращение в 4 раза) в передаваемой мощности (или энергии) для достижения  при увеличении числа сигналов  от 2 до 64. Каково минимальное значение  для достижения произвольной малой вероятности ошибки при ? На этот вопрос ответим ниже.

Объединённая граница для вероятности ошибки. Рассмотрим влияние роста  на вероятность ошибки для ортогональных сигналов. Чтобы облегчить математический анализ, сначала найдём верхнюю границу для вероятности ошибки на символ, которая намного проще, чем точная формула (5.2.21).

Напомним, что вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов даётся формулой (5.2.11). Теперь будем рассматривать детектор для  ортогональных сигналов как такой, который выполняет  двоичных решений между выходом коррелятора  который содержит сигнал, и остальными  выходами корреляторов  .

Вероятность ошибки ограничена сверху объединённой границей для вероятности  событий. Это означает, что если  представляет событие, что  для , тогда . Следовательно,

  (5.2.25)

Эту границу можно упростить посредством верхней границы для . Имеем

                                               (5.2.26)

Таким образом,

                                 (5.2.27)

При , что эквивалентно , вероятность ошибки экспоненциально стремится к нулю при условии, что  больше, чем  т.е.

                          (5.2.28)

Простая верхняя граница для вероятности ошибки, определяемая (5.2.27). подразумевает, что когда ОСШ на бит больше, чем 1,42 дБ. то мы можем достичь произвольно малую вероятность ошибки . Однако эта объединённая граница не является очень плотной границей при достаточно низком , что объясняется тем фактом, что верхняя граница для -функции в (5.2.26) является неточной. Действительно, посредством более тщательного исследования границ в гл. 7 показано, что верхняя граница (5.2.27) достаточно плотная при . Для  плотная верхняя граница для  определяется так:

                                               (5.2.29)

Следовательно,  при  при условии, что

                            (5.2.30)

Таким образом, 1,6 ДБ – это минимальное ОСШ на бит, требуемое для достижения произвольной сколь угодно малой вероятности ошибки в пределе, когда . Это минимальное значение ОСШ на бит (-1,6 дБ) названо пределом Шеннона для канала с аддитивным белым гауссовским шумом.