5.2. Характеристики качества оптимального приёмника для модуляции без памяти

В этом разделе мы определим вероятность ошибки для модулированных сигналов без памяти, описанных в разд. 4.3.1. Сначала рассмотрим сигналы двоичной AM, а затем позиционные сигналы различных видов.

5.2.1. Вероятность ошибки при двоичной модуляции

Рассмотрим сигнал двоичной AM, где два сигнала  и , а  - произвольный импульс, который отличен от нуля на интервале  и равен нулю в остальной области.

Поскольку  эти сигналы называют противоположными. Пусть энергия импульса  равна . Как указано в разд. 4.3.1, сигналы AM является одномерными, и, следовательно, их геометрическое представление определяется одномерными векторами  Рисунок 5.2.1 иллюстрирует две сигнальные точки.

Предположим, что два сигнала равновероятны и что передан сигнал . Тогда выходной сигнал (на выходе корреляционной схемы или согласованного фильтра) демодулятора равен

                                                                                        (5.2.1)

Рис. 5.2.1. Сигнальные точки для двоичных противоположных сигналов

где  представляет компоненту аддитивного гауссовского шума, которая имеет нулевое среднее и дисперсию . В этом случае правило решения, основанное на корреляционной метрике (5.1.44), сравнивает с нулевым порогом. Если , то решение принимается в пользу , а если  - в пользу . Ясно, что условные ФПВ для  равны

                           (5.2.2)

                           (5.2.3)

Рис. 5.2.2. Условные ФПВ для двух сигналов

Эти две условные ФПВ показаны на рис. 5.2.2. При условии, что передан сигнал , вероятность, ошибки определяется вероятностью того, что  т.е.

         (5.2.4)

где  - -функция, определённая (2.1.97). Аналогично, если предположим, что был передан сигнал  то  и вероятность того, что  также равна . Поскольку сигналы  и  равновероятны, то средняя вероятность ошибки

               (5.2.5)

Мы хотим отметить два важных свойства этой характеристики качества. Во-первых, заметим, что вероятность ошибки зависит только от отношения  и не зависит от других более детальных характеристик сигналов и шума. Во-вторых, заметим, что  также выходное отношение сигнал/шум  согласованного фильтра (и коррелятора) демодулятора. Отношение  обычно называют отношением сигнал/шум на бит.

Отметим также, что вероятность ошибки можно выразить через расстояние между сигналами  и . Из рис. 5.2.1 видно, что два сигнала находятся на расстоянии . Подставив  в (5.2.5), получим

                                                               (5.2.6)

Это выражение иллюстрирует зависимость вероятности ошибки от расстояния между двумя сигнальными точками.

Далее определим вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов. Повторим, что в этом случае сигнальные векторы  и  являются двухмерными, как показано на рис. 5.2.3, и их можно выразить согласно (4.3.30) так

                                                                                                           (5.2.7)

где  обозначает энергию для каждого из сигналов. Заметим, что расстояние между сигнальными точками теперь .

Рис. 5.2.3. Сигнальные точки для двоичных ортогональных сигналов

Для расчёта вероятности ошибки предположим, что передаётся сигнал . Тогда принимаемый вектор на выходе демодулятора

                                                            (5.2.8)

Мы можем теперь подставить  в корреляционные метрики, определяемые (5.1.44), чтобы получить  и . Вероятность ошибки – это вероятность того, что . Таким образом,

           (5.2.9)

Поскольку  и  - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией , то  - гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией . Следовательно,

             (5.2.10)

Вследствие симметрии та же вероятность ошибки получается в предположении, что передаётся . Следовательно, средняя вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов

                                          (5.2.11)

где по определению  - это ОСШ на бит.

Если сравним вероятность ошибки для двоичных противоположных сигналов с вероятностью ошибки для двоичных ортогональных сигналов, то находим, что ортогональные сигналы требуют удвоения энергии сигнала для достижения той же вероятности ошибки, что в системе с противоположными сигналами. Поскольку дБ, то видим, что ортогональные сигналы на 3 дБ хуже, чем противоположные сигналы. Разница в 3 дБ объясняется тем, что расстояние между двумя сигнальными точками ортогональной системы равно  в то время как расстояние между точками противоположных сигналов равно .

Зависимость вероятности ошибки от  для этих двух типов сигналов показана на рис. 5.2.4. Как видно из рисунка, для любой заданной вероятности ошибки требуемое значение  для ортогональных сигналов больше, чем для противоположных сигналов.

Рис.5.2.4. Вероятность ошибки для двоичных сигналов