5.2.6. Вероятность ошибки для М-позиционной AM

Напомним, что -позиционные сигналы AM представляются геометрически как  одномерных сигнальных точек со значениями

                                  (5.2.37)

где  - энергия базового сигнального импульса . Значения амплитуд можно выразить так:

                   (5.2.38)

где евклидово расстояние между соседними сигнальными точками равно .

Средняя энергия сигнала

          (5.2.39)

Эквивалентно мы можем характеризовать эти сигналы их средней мощностью, которая равна

                                     (5.2.40)

Средняя вероятность ошибки для -позиционной AM можно определить из правила выбора решения по максимуму метрик корреляции, определяемых (5.1.44). Эквивалентно детектор сравнивает выход демодулятора  с рядом  порогов, которые располагаются в средних точках между соседними уровнями амплитуд, как показано на рис. 5.2.7.

Рис.5.2.7. Расположение порогов в средних точках между соседними уровнями амплитуд

Таким образом, решение выбирается в пользу уровня амплитуды, который расположен ближе всех к .

Расположение порогов, указанных на рис. 5.2.7, помогает в вычислении вероятности ошибки. Заметим, что если передаётся -й амплитудный уровень, то выход демодулятора равен

                                            (5.2.41)

где компонента шума  имеет нулевое среднее и дисперсию . В предположении, что все уровни амплитуд априори равновероятны, средняя вероятность ошибочного приёма символа равна вероятности того, что компонента шума  превосходит по амплитуде половину расстояния между соседними уровнями. Однако, когда передаётся один из двух крайних уровней , ошибка возникает только в одном направлении. Таким образом, мы имеем

           (5.2.42)

Вероятность ошибки (5.2.42) можно также выразить через среднюю переданную мощность. Из (5.2.40) видно, что

                                                       (5.2.43)

Подставив  в (5.2.42), получим среднюю вероятность ошибки на символ для AM через среднюю мощность:

                         (5.2.44)

или, что эквивалентно,

                       (5.2.45)

где  - средняя энергия. При построении зависимости вероятности ошибки на символ -позиционной системы AM обычно используется ОСШ на бит как базовый параметр. Так как  и , (5.2.45) можно преобразовать к

                  (5.2.46)

где  - средняя энергия на бит, а  -средняя на бит.

Рис. 5.2.8. Вероятность ошибки на символ для АМ

Рисунок 5.2.8 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на символ от  со значением  в качестве параметра.

Заметим, что случай  соответствует вероятности ошибки для двоичной системы противоположных сигналов. Также видим, что при фиксированной вероятности ошибки  ОСШ на бит возрастает более чем на 4 дБ при каждом удвоении числа . При очень больших  требуемый рост ОСШ при удвоении числа  приближается к 6 дБ.