5.2.7. Вероятность ошибки для М-позиционной ФМ

Напомним из разд. 4.3, что цифровой сигнал ФМ можно выразить так:

      (5.2.47)

и он имеет векторное представление

    (5.2.48)

где  - энергия каждого сигнала, a  - огибающая импульса передаваемого сигнала. Поскольку сигналы имеют одинаковую энергию, оптимальный детектор в канале с АБГШ, определяемый (5.1.44), вычисляет корреляционные метрики

                                 (5.2.49)

Другими словами, принимаемый сигнальный вектор  проектируется на возможных сигнальных векторов, и решение принимается в пользу сигнала с наибольшей проекцией.

Корреляционный детектор, описанный выше, эквивалентен фазовому детектору, который определяет фазу принимаемого сигнала  и выбирает сигнальный вектор , фаза которого ближе всего к фазе . Поскольку фаза  равна

                                                                    (5.2.50)

мы хотим определить ФПВ  по которой сможем вычислить вероятность ошибки.

Рассмотрим случай, когда фаза передаваемого сигнала  равна . Следовательно, вектор переданного сигнала

                                                                   (5.2.51)

а вектор принимаемого сигнала имеет компоненты

                                                                      (5.2.52)

Поскльку  и  являются совместно гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними, следует, что  и  являются совместно гауссовскими случайными величинами с  и . Следовательно,

        (5.2.53)

ФПФ фазы  можно получить заменой переменных  на

                                                          (5.2.54)

Это даёт совместную ФПВ

Интегрирование  по области  даёт

                (5.2.55)

где для удобства мы обозначили ОСШ символом  Рисунок 5.2.9 иллюстрирует  различных значений параметра ОСШ , когда фаза переданного сигнала равна нулю. Заметим, что  становится уже и более концентрированной около фазы  по мере увеличения параметра ОСШ .

Когда передаётся , ошибочное решение произойдёт, если шум вызовет нахождение фазы , вне области .

Рис. 5.2.9. Функция плотности вероятности  для

Следовательно, вероятность ошибочного приёма символа

                                     (5.2.56)

В общем, интегрирование  не приводится к простой форме и следует выполнить численное интегрирование, исключая случаи  и .

Для двоичной фазовой модуляции два сигнала  и  противоположны, и, следовательно, вероятность ошибки

                                                                (5.2.57)

Когда , имеем случай двух двоичных фазово-модулированных сигналов в квадратуре. Поскольку здесь нет переходных помех или интерференции между сигналами на двух квадратурных несущих, вероятность ошибки на бит идентична той, которая определяется (5.2.57). С другой стороны, вероятность ошибки на символ при  определяется с учётом того, что

                          (5.2.58)

где  - вероятность правильного приёма для двух битовых символов. Результат (5.2.58) следует из статистической независимости шума на квадратурных несущих. Следовательно, вероятность ошибки на символ для  равна

   (5.2.59)

Для  вероятность ошибки на символ  получена численным интегрированием (5.2.55). Рисунок 5.2.10 иллюстрирует эти вероятности ошибки как функции ОСШ на бит для .

Рис. 5.2.10. Вероятность ошибки на символ для сигналов ФМ

Кривые явно иллюстрируют потери в ОСШ на бит по мере роста . Например, при  разница в ОСШ между  и  приблизительно равна 4 дБ, а разница между  и  приблизительно равна 5 дБ. Для больших значений  рост числа фаз вдвое требует дополнительного увеличения ОСШ на 6 дБ/бит для достижения того же качества.

Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений  и для больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации . Для  и  хорошо аппроксимируется так:

                       (5.2.60)

Поставив (5.2.60) в (5.2.56) и выполнив замену переменной  на , найдем

   (5.2.61)

где . Заметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки хороша для всех значений . Например, когда  и , мы имеем что хорошо совпадает (за исключением множителя 2) с точным значением вероятности, данной (5.2.57).

Эквивалентную вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ скорее утомительно вычислить с учетом её зависимости от отображения битового блока в соответствующее значение фазы сигнала. Если для такого отображения используется код Грея, два битовых блока, соответствующие сигналам с соседними значениями фаз, отличаются только на один бит. Поскольку более вероятные ошибки, обусловленные действием шума, приводят к выбору сигнала с соседним значением фазы вместо верного выбора, большинство битовых блоков содержат ошибки только в одном бите. Следовательно, эквивалентная вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением

                                                                         (5.2.62)

Наша трактовка демодуляции сигналов ФМ предполагает, что демодулятор располагает совершенной оценкой фазы несущей. На практике, однако, фаза несущей определяется по принятому сигналу путем использования некоторых нелинейных операций, которые приводят к неоднозначности фазы. Для примера в двоичной ФМ сигнал часто подвергается квадратированию, чтобы снять модуляцию, затем образованный сигнал с удвоенной частотой фильтруется и делится по частоте на 2 для того, чтобы получить оценку частоты несущей и фазы . Эти операции приводят к неоднозначности фазы несущей на 180°. Аналогично в четырехфазовой ФМ принимаемый сигнал возводится в четвертую степень, чтобы снять цифровую модуляцию, а затем четвёртая гармоника частоты несущей фильтруется и делится на 4 для того, чтобы, выделить компоненту несущей. Эти операции приводят к компоненте частоты несущей, содержащей оценку фазы несущей , но возникают неоднозначности фазы на +90° и на 180° при оценке фазы. Следовательно, мы не имеем точную оценку фазы несущей в демодуляторе.

Проблема неоднозначности фазы, возникающей при оценке фазы несущей , может быть преодолена путём использования дифференциальной ФМ (ДФМ) вместо абсолютной ФМ. При дифференциальной ФМ кодирование информации осуществляется посредством разности фаз между соседними переданными сигналами[1], а не самой абсолютной фазы, как при обычной ФМ. Например, в двоичной ДФМ информационный символ 1 передаётся со сдвигом фазы несущей на 180° относительно предыдущего значения фазы несущей, в то время как информационный символ 0 передаётся без сдвига фазы. В четырёхфазной ДФМ относительный сдвиг фаз между соседними сигнальными интервалами равен 0, 90°, 180°, и -90° в зависимости от информационных символов 00, 01, 11 и 10 соответственно. Обобщение на случай  очевидно. Сигналы ФМ, получаемые при таком процессе кодирования, называют дифференциально-кодированными. Такое кодирование выполняется относительно простой логической схемой, предшествующей модулятору.

Демодуляция сигнала при дифференциальном кодировании ФМ может выполняться, как описано выше, с игнорированием неоднозначности фазы. Так, принимаемый сигнал демодулируется и детектируется на каждом сигнальном интервале в одно из  возможных значений фазы. За детектором имеется относительно простое устройство сравнения фаз, которое сравнивает фазы демодулированных сигналов на двух соседних сигнальных интервалах с тем, чтобы извлечь информацию.

Когерентная демодуляция для ФМ с дифференциальным кодированием приводит к большей вероятности ошибки, чем вероятность ошибки, достигаемая при абсолютном фазовом кодировании. При ФМ с дифференциальным кодированием ошибка при демодуляции фазы сигнала на данном интервале будет обычно возникать при ошибочном декодировании на любом из двух соседних сигнальных интервалов. Это особенно характерно для ошибок с вероятностью ниже 0,1. Следовательно, вероятность ошибки позиционной ФМ при дифференциальном кодировании приблизительно вдвое больше вероятности ошибки для позиционной ФМ с абсолютным кодированием фазы. Однако увеличение вероятности ошибки вдвое ведёт к относительно малым потерям в ОСШ.