5.2.8. Дифференциальная ФМ (ДФМ) и её характеристики качества

Сигнал дифференциально-кодированный фазовой модуляции (ДФМ) позволяет использовать вид демодуляции, который не требует оценки фазы несущей. Вместо этого принимаемый сигнал на заданном сигнальном интервале сравнивается по фазе с принятым сигналом на предыдущем сигнальном интервале. Для детальной разработки предположим, что мы демодулируем сигнал ДФМ путём умножения  на  и  и интегрируем произведения на интервале  На -м сигнальном интервале выход демодулятора равен

или, что эквивалентно,

                                                     (5.2.63)

где  - комплексное число,  - фазовый угол переданного сигнала на -м тактовом интервале,  - фаза несущей и  - вектор шума. Аналогично принятый сигнальный вектор на выходе демодулятора на предыдущем сигнальном интервале равен

                                           (5.2.64)

В фазовом детекторе решение принимается по разности фаз между двумя комплексными величинами. Эквивалентно мы можем проектировать  на  и использовать фазу результирующего комплексного числа, т.е. получим

(5.2.65)

откуда при отсутствии шума может быть точно определена разность фаз . Таким образом, значение  не зависит от фазы несущей. Дифференциально кодированные сигналы ФМ, которые демодулируются и декодируется описанным выше способом, называют обычно дифференциальной ФМ (ДФМ).

Демодуляция и детектирование ДФМ с использованием согласованных фильтров иллюстрируются рис. 5.2.11. Если импульс  прямоугольный, согласованные фильтры можно заменить интеграторами со сбросом.

Теперь рассмотрим эволюцию характеристики качества (вероятности ошибки) демодулятора и детектора ДФМ. Точный расчёт величины вероятности ошибки для -позиционной ДФМ очень сложен, исключая случай . Наибольшая трудность связана с определением ФПВ для фазы случайной величины , определяемой (5.2.65). Однако, как мы теперь покажем, легко получить аппроксимацию характеристики качества ДФМ.

Рис. 5.2.11. Блок-схема демодулятора ДФМ

Без потери общности предположим, что разность фаз . Далее, экспоненциальные множители  и  в (5.2.65) можно включить в гауссовские шумовые компоненты  и  без изменения их статистических свойств. Следовательно,  в (5.2.65) можно выразить так:

                     (5.2.66)

Сложность определения ФПВ фазы определяется слагаемым . Однако при больших ОСШ, представляющих практический интерес, слагаемое  мало по сравнению с доминирующей компонентой шума . Если мы пренебрежём слагаемым  и нормируем  делением на , то получим новый ряд метрик, по которым выносится решение:

                                             (5.2.67)

Здесь  и  являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами с одинаковой дисперсией . Фаза равна

                                                            (5.2.68)

На этой стадии мы имеем проблему, которая идентична той, которую мы решали ранее для фазово-когерентной демодуляции. Единственная разница в том, что дисперсия шума теперь в два раза больше, чем в случае ФМ. На этом основании заключаем, что характеристика качества ДФМ на 3 дБ хуже, чем для ФМ. Этот результат относительно хорош для , но он пессимистичен для  в том смысле, что действительная потеря ДФМ относительно ФМ менее 3 дБ при больших ОСШ. Это мы покажем ниже.

В двоичной ДФМ два возможных значения фазы передаваемого сигнала равны  и . Как следствие, только реальная часть  необходима для извлечения информации. Используя (5.2.67), выразим реальную часть так:

Рис. 5.2.12. Вероятность ошибки для двоичной ФМ и ДФМ

Поскольку мы предполагали, что разность фаз между сигналами на соседних интервалах равна 0, ошибка возникает, если . Вероятность того, что , это специальный случай исследования, данного в приложении В, где обсуждается вероятность того, что общая квадратичная форма комплексных случайных гауссовских величин меньше нуля. Общая форма для этой вероятности даётся (В.21) в приложении В, и она зависит всецело от первого и второго моментов комплексных гауссовских случайных величин  и . Вычислив моменты и параметры, которые являются функциями моментов, получим вероятность ошибки двоичной ДФМ в виде

                                                                   (5.2.69)

где  - это ОСШ на бит.

Графики  показаны на рис. 5.2.12. На этом графике показана также вероятность ошибки двоичной когерентной ФМ.

Видно, что при вероятности ошибки  разница в ОСШ между ФМ и ДФМ менее 3 дБ. При  разница в ОСШ меньше 1 дБ.

Рис. 5.2.13. Вероятность ошибки на бит для двоичной и четырехфазной ФМ и ДФМ

Вероятность ошибки на бит для четырёхфазной ДФМ с кодом Грея можно выразить через известные функции.

Мы просто сформулируем здесь результат, а читателю, интересующемуся деталями, рекомендуем приложение С. Результат выражается в виде

где  - это -функция Mapкума, определенная (2.1.122) и (2.1.123),  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, определённая (2.1.120), а параметры  и  определяются так:

                                                      (5.2.70)

Рисунок 5.2.13 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на бит для сигналов двух- и четырёхфазной ДФМ и когерентной ФМ, полученную расчётом по точным формулам этого раздела.

Поскольку двоичная ДФМ мало уступает двоичной ФМ при больших ОСШ и не требует разработки специального метода оценки фазы несущей, она часто используется в цифровых системах. С другой стороны, четырёхфазная ДФМ приблизительно на 2,3 дБ хуже по качеству, чем четырёхфазная ФМ при больших значениях ОСШ. Следовательно, выбор между этими двумя четырёхфазными системами неоднозначен. Надо взвесить потери в 2,3 дБ и упрощения в реализации устройства.