5.2.9. Вероятность ошибки для КАМ

Напомним из раздела 4.3, что сигнал КАМ можно выразить так

    (5.2.72)

где  и  - содержащие информацию амплитуды квадратурных несущих, а  - сигнальный импульс. Векторное представление этих сигналов

                                  (5.2.73)

Чтобы определить вероятность ошибки при КАМ, мы должны конкретизировать точки сигнального созвездия. Начнём с сигнального ансамбля КАМ, который имеет  точки. Рис. 5.2.14 иллюстрирует два таких ансамбля. Первый (а) – это четырёхфазный модулированный сигнал, а второй (b) – это четырёхфазный сигнал КАМ с двумя уровнями амплитуд, обозначенными  и , и четырьмя значениями фаз. Поскольку вероятность ошибки определяется минимальным расстоянием между парой сигнальных точек, примем условие, что  для обоих сигнальных созвездий, и рассчитаем среднюю переданную мощность, основываясь на предположении, что все сигнальные точки равновероятны. Для четырёхфазного сигнала имеем

                                           (5.2.74)

Для двухамплитудной четырёхфазной КАМ мы разместим точки на окружностях радиуса  и . Поскольку , имеем

                                (5.2.75)

что совпадает со средней мощностью для четырёхфазного сигнального созвездия. Следовательно, для всех практических применений вероятность ошибки двух ансамблей сигналов одинакова. Другими словами, нет преимущества двухамплитудного сигнала КАМ относительно четырёхфазной модуляции.

Рис. 5.2.14. Два 4–точечных сигнальных созвездия

Рис. 5.2.15. Четыре 8–точечных созвездия сигналов КАМ

Далее рассмотрим восьмиуровневый  сигнал КАМ. В этом случае имеются много возможных сигнальных созвездий. Рассмотрим четыре сигнальных созвездия, показанных на рис. 5.2.15. Все они характеризуются двумя амплитудами и имеют минимальные расстояния между сигнальными точками . Координаты  для каждой сигнальной точки, нормированные по , даны на рисунке. Предполагая, что все сигнальные точки равновероятны, получаем для средней переданной мощности сигнала

(5.2.76)

где  - координаты сигнальных точек, нормированные по . Два сигнальных ансамбля (a) и (c) на рис. 5.2.15 содержат сигнальные точки, которые лежат на сетке прямоугольника и имеют  Сигнальный ансамбль (b) требует переданную среднюю мощность  а ансамбль (d) требует  Следовательно, четвёртый сигнальный ансамбль требует примерно на 1 дБ меньше мощности, чем первые два, и на 1,6 дБ меньше мощности, чем третий, для того, чтобы достичь той же вероятности ошибки. Это сигнальное созвездие известно как лучшее восьмиточечное КАМ созвездие, так как оно требует наименьшей мощности при заданном минимальном расстоянии между сигнальными точками.

Для  имеется намного больше возможностей для выбора сигнальных точек КАМ в двухмерном пространстве. Для примера мы можем выбрать круговые многоуровневые созвездия для , как показано на рис. 4.3.4. В этом случае сигнальные точки при заданной амплитуде поворачиваются по фазе на  относительно сигнальных точек соседних уровней амплитуд. Это созвездие 16 КАМ является обобщением оптимального созвездия 8 КАМ. Однако круговое созвездие 16 КАМ не является наилучшим 16-точечным созвездием КАМ в канале с АБГШ.

Прямоугольное сигнальное созвездие КАМ имеет отчётливое преимущество с точки зрения простоты генерирования, как два сигнала AM, переданные на квадратурных по фазе несущих. Кроме того, оно легко демодулируется. Хотя оно не являются наилучшим -позиционным сигнальным созвездием при КАМ для , средняя переданная мощность, требуемая для достижения заданного минимального расстояния, лишь ненамного больше, чем средняя мощность, требуемая при наилучшем сигнальном созвездии КАМ. Исходя из этих соображений, прямоугольное -позиционное сигнальное созвездие КАМ наиболее часто используется на практике.

Для прямоугольных сигнальных созвездий при  где  - четно, сигнальное созвездие КАМ эквивалентно сумме двух сигналов AM на квадратурных несущих, причём каждый имеет  сигнальных точек. Поскольку сигналы в квадратурных компонентах можно точно разделить в демодуляторе, вероятность ошибки для КАМ легко определить по вероятности ошибки AM. Конкретнее вероятность правильного решения для -позиционной системы КАМ равна

                                                               (5.2.77)

где  - вероятность ошибки для -позиционной AM с половинной средней мощностью в каждом квадратурном сигнале эквивалента КАМ. Несколько модифицируя выражение для вероятности ошибки в -позиционной AM, получаем

                    (5.2.78)

где  - среднее ОСШ на символ. Следовательно, вероятность ошибки на символ для -позиционной КАМ равна

                                                       (5.2.79)

Подчеркнём, что этот результат точен при , когда  чётно. С другой стороны, если  нечётно, нет эквивалентной -позиционной системы AM. Однако здесь нет проблемы, поскольку всегда легче определить вероятность ошибки для прямоугольного ансамбля сигналов. Если мы используем оптимальный детектор, который основывает свои решения на использовании дистанционных метрик, определяемых (5.1.49), относительно просто показать, что вероятность ошибки на символ имеет плотную верхнюю границу

      (5.2.80)

для всех , где  - среднее ОСШ на бит.

Рис. 5.2.16. Вероятность ошибки на символ для КАМ

Для непрямоугольных сигнальных созвездий КАМ можем получить верхнюю границу для вероятности ошибки, используя объединённую границу. Очевидная верхняя граница

где  - минимальное евклидово расстояние между сигнальными точками. Эта граница может быть неплотной, когда  велико. В этом случае можем аппроксимировать , заменяя  на , где  - наибольшее число ближайших точек, которые имеют расстояние  от любой точки созвездия.

Интересно сравнить характеристику качества КАМ и AM для заданного объёма сигналов , поскольку оба типа сигналов являются двухмерными. Напомним, что для -позиционной ФМ вероятность ошибки на символ аппроксимируется так:

                                              (5.2.81)

где  - ОСШ на символ. Для -позиционной КАМ мы можем использовать выражение (5.2.78). Поскольку вероятность ошибки определяется аргументом -функция, можем сравнить аргументы  для двух сигнальных форматов. Отношение двух обсуждаемых аргументов равно

                                                     (5.2.82)

Например, когда , имеем . Следовательно, 4-позиционная ФМ и 4-позиционная КАМ дают сходные характеристики качества для одинаковых ОСШ на символ. С другой стороны, когда , находим, что , так что -позиционная КАМ даёт лучшую характеристику качества, чем -позиционная ФМ. Таблица 5.2.1 иллюстрирует выигрыш в ОСШ системы КАМ относительно ФМ для некоторых значений . Например, видно, что система 32 КАМ имеет выигрыш по ОСШ на 7 дБ относительно системы 32 ФМ.

Таблица 5.2.1. Выигрыш в ОСШ -позиционной КАМ по отношение к -позиционной ФМ

	, дБ
8	1,65
16	4,20
32	7,02
64	9,95