5.3.1 Оптимальные демодуляция и детектирование для МНФ

Оптимальный приёмник для этих сигналов состоит из каскадного соединения коррелятора и детектора последовательности максимального правдоподобия, который ищет путь по решётке состояний с минимальным евклидовым расстоянием от принятого сигнала. Алгоритм Витерби позволяет эффективно осуществить этот поиск. Установим общую структуру решётки состояний для МНФ и затем опишем расчёт метрик.

Напомним, что фазу несущей для сигнала МНФ с фиксированным индексом модуляции  можно выразить так:

      (5.3.4)

где мы предположили, что  для  для  и

                                                             (5.3.5)

Сигнальный импульс  для  и . Для  имеем МНФ с полным откликом, а при , где  - положительное целое число, имеем МНФ с парциальным откликом.

Рис.5.2.17. Сравнение различных методов модуляции при вероятности ошибки на символ

Теперь если  - рациональное число, т.е. , где  и  - это взаимно простые положительные целые числа, то схему образования МНФ можно представить решёткой. В этом случае имеются  состояний фазы

                    (5.3.6)

если  - четно, и  состояний фазы

                  (5.3.7)

если  - нечётно. Если , это единственное состояние решётки. С другой стороны, если , имеем дополнительное число состояний, обусловленных парциальным откликом сигнального импульса . Эти дополнительные состояния можно определить,

выражая  через (5.3.4):

  (5.3.8)

Первое слагаемое в правой части (5.3.8) зависит от последовательности информационных символов , которую называют коррелированным вектором состояний, и представляет слагаемое фазы, которое соответствует сигнальным импульсам, которые ещё не достигли финальных значений. Второе слагаемое в (5.3.8) представляют вклад фазы, обусловленный самым последним символом . Таким образом, состояние сигнала МНФ (или модулятора) в точке  можно выразить как комбинацию фазового состояния и коррелированного состояния, обозначаемую так:

                                 (5.3.9)

для сигнального импульса с парциальным откликом длины , где  В этом случае число состояний равно

                    (5.3.10)

Теперь предположим, что состояние модулятора в точке  есть  Влияние нового символа в интервале  сводится к изменению состояния от  до . Следовательно, в точке  состояние становится

где

Пример 5.3.1. Рассмотрим схему образования двоичной МНФ с индексом модуляции  и импульсом с парциальным откликом с . Определим состояние  схемы МНФ и вычертим фазовое дерево и решётку состояний.

Сначала отмечаем, что имеется состояний фаз, именно

Для каждого из этих состояний фаз имеется два состояния, которые обусловлены памятью схемы МНФ. Следовательно, общее число состояний , именно

Если система находится в фазовом состоянии  и , тогда

Решётка состояний иллюстрируется рис. 5.3.1. Путь по решётке состояний, соответствующий последовательности , показан на рис. 5.3.2.

Рис.5.3.1. Решетка состояний для МНФ с парциальным откликом  с  

Для того чтобы нарисовать фазовое дерево, мы должны знать огибающую сигнального импульса . Рисунок 5.3.3 иллюстрирует фазовое дерево, когда  является прямоугольным импульсом длительности  с начальным состоянием

Установив отображение решётки состояний для МНФ, рассмотрим расчёт метрик, формируемых алгоритмом Витерби.

Расчёт метрик. Возвращаясь к математическим основам демодулятора максимального правдоподобия, данным в разд. 5.4.1, легко видеть, что логарифм условной плотности вероятности наблюдаемого сигнала  при условии передачи последовательности символов  пропорционален метрике взаимной корреляции

(5.3.11)

Слагаемое  представляет метрики выживших путей (последовательностей) до момента , а слагаемое

      (5.3.12)

представляет дополнительный прирост метрики, вносимый сигналом на интервале времени . Заметим, что имеются  возможных последовательностей  символов и  возможных состояний фазы .

Следовательно, имеем  различных величин , вычисляемых на каждом сигнальном интервале, и каждая величина используется для прироста метрик, соответствующих  выживших последовательностей от предыдущего сигнального интервала. Общая блок-схема на рис. 5.3.4 иллюстрирует вычисления  для декодера Витерби.

Заметим, что число выживших последовательностей в каждом состоянии для процесса декодирования по Витерби равно . Для каждой выжившей последовательности мы имеем  новых приращений , которые прибавляются к существующим метрикам, чтобы получить  последовательностей с  метриками. Однако их число затем снова уменьшается до  (или ) выживших траекторий с соответствующими метриками за счёт выбора наиболее вероятной последовательности из  последовательностей, сливающихся в каждом узле решётки и отбрасывания остальных  последовательностей.

Рис.5.3.4. Вычисление приращений метрик