5.3.2. Характеристики качества сигналов МНФ
При расчете характеристик качества сигналов МНФ, достигаемого при максимально правдоподобном последовательном оценивании МППО (MLSE), мы должны определить минимум евклидова расстояния путей по решётке, которые начинаются в некотором узле в момент
и возвращаются в более позднее время в тот же узел. Как мы теперь покажем, расстояние между двумя путями на решётке относится к соответствующим сигналам.
Предположим, что имеем два сигнала
и
, соответствующие двум фазовым траекториям
и
. Последовательности
и
должны отличаться в первом символе. Тогда евклидово расстояние между двумя сигналами на интервале длиной
, где
- скорость передачи символов, определяется так:
(5.3.13)
Следовательно, согласно (5.3.13) евклидово расстояние сводится к разности фаз между путями на решётке состояний.
Желательно выразить расстояние
через битовую энергию. Поскольку
, (5.3.13) можно выразить так:
(5.3.14)
где
определено как
(5.3.15)
Далee видим, что
так что, обозначив
, (5.3.15) можно переписать в виде
(5.3.16)
где любой элемент из
может принять значения
, кроме
, которое не может быть равным 0.
Вероятность ошибки МНФ определяется слагаемым
, соответствующим минимальному евклидову расстоянию, и ее можно выразить так:
(5.3.17)
где
(5.3.18)
Заметим, что для обычной двоичной ФМ без памяти
и
. Следовательно, (5.3.17) согласуется с нашим прежним результатом.
Поскольку
характеризует качество МНФ с МППО, мы можем исследовать влияние на
изменения объёма алфавита
, индекса модуляции
и длительности переданного импульса в системе МНФ с парциальным откликом.
Прежде всего рассмотрим МНФ с полным откликом
. Если возьмем сначала
, то заметим, что последовательности
(5.3.19)
которые отличаются при
и совпадают при
, приводят к двум фазовым траекториям, которые сливаются после второго символа. Это соответствует разностной последовательности
(5.3.20)
Евклидово расстояние для этих последовательностей легко вычислить из (5.3.16), а затем найти верхнюю границу для
. Эта верхняя граница для
равна
(5.3.21)
Например, когда
, что ведет к ММС, имеем d2B
, так что
.
Для
и при полном отклике МНФ также можно легко увидеть, что фазовые траектории сливаются при
. Следовательно, верхнюю границу
можно получить, рассматривая последовательности разностей фаз
, где

Эти последовательности дают верхнюю границу
(5.3.22)
Графики зависимости
от
для
показаны на рис. 5.3.5.

Рис.5.3.5. Верхние границы
как функция индекса модуляции для сигнала МНФ с полным откликом и прямоугольным импульсом
Из этих графиков очевидно, что большие выигрыши в качестве можно достичь «увеличением объема алфавита
. Надо вспомнить, однако, что
. Это значит, что верхняя граница не достижима для всех значений
.
Минимальное евклидово расстояние
было определено расчетом по (5.3.16) для различных сигналов МНФ Аулином и Сандбергом (1981). Например, рис. 5.3.6 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния для двоичной ЧМНФ, как функцию индекса модуляции
при различном числе наблюдаемых символьных интервалов
.
Показана также верхняя граница
, определяемая (5.3.21). В частности, видим, что когда
, это является тем же среднеквадратическим расстоянием, что для ФМ (двоичной или четверичной) с
.
С другой стороны, требуемое число интервалов наблюдения для ММС равно
, из чего получаем
. Следовательно, качество ММС с МППО сравнимо с качеством (двоичной или четверичной) ФМ, что мы видели раньше.
Из рис. 5.3.6 мы также замечаем, что оптимальный индекс модуляции для двоичной ЧМНФ равен
, когда число интервалов наблюдения равно
. Это дает
или выигрыш в 0,85 дБ относительно ММС.
Рисунок 5.3.7 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния от
для ЧМНФ с
и числом интервалов наблюдения
как параметра.
Также показана (штриховой кривой, которая не достигается) верхняя граница
, рассчитанная по (5.3.22). Заметим, что
достигает верхней границы при некоторых значениях
при одинаковых
. В частности, отметим, что максимальная величина
, которая получается при
, приближённо достигается при
наблюдаемых символьных интервалах. Действительный максимум достигается при
с
. Для этого случая
, что даёт выигрыш 3,2 дБ относительно ММС. Также отметим, что евклидово расстояние имеет минимумы при
и других значениях. Эти значения
называют слабыми индексами модуляции, и их избегают. Похожие результаты возможны для больших значений
, и их можно найти в работе Аулина и Сандберга (1981) и в публикациях Андерсона и др. (1986).

Рис.5.3.6. Минимальное евклидово расстояние как функция индекса модуляции для двоичной ЧМНФ. Верхняя граница
.

Рис.5.3.7. Минимальное евклидово расстояние как функция индекса модуляции для четверичной ЧМНФ. Верхняя граница
.
Большие выигрыши в качестве можно также достичь при МППО и для МНФ, используя сигналы с парциальным откликом. Например, граница расстояния
при парциальном отклике импульса приподнятого косинуса, определяемого выражением
(5.3.23)
показана на рис. 5.3.8 для
.
Здесь заметим, что с ростом
параметр
также достигает больших значений. Ясно, что качество МНФ улучшается по мере увеличения коррелятивной памяти
, но следует также увеличить
для того, чтобы достичь больших значений
. Поскольку больший индекс модуляции требует большей полосы частот (при фиксированном
), в то время как большая длина памяти
(при фиксированном
) требует меньшей полосы частот, то лучше сравнивать евклидово расстояние как функцию от нормированной полосы частот
где
- полоса с концентрацией 99% мощности, а
- битовый интервал. Рисунок 5.3.9 иллюстрирует этот вид сравнения с ММС, используемой как точка отсчёта (0 дБ).

Рис.5.3.8. Верхняя граница
для минимального расстояния двоичной МНФ с парциальным откликом (импульс приподнятого косинуса).

Рис.5.3.9. Выигрыш в полосе частот по мощности для сигнала МНФ с частичным откликом (импульс приподнятого косинуса – ПК).
– полоса, содержащая 99% мощности.
Из этого рисунка видно, что имеется выигрыш в несколько децибел при использовании сигналов с парциальным откликом и больших значений объема алфавита. Главная цена, которую можно платить за этот выигрыш качества, - это экспоненциально растущая сложность в реализации декодера Витерби.
Результаты качества, иллюстрируемые на рис. 5.3.9, показывают, что выигрыш относительно ММС в 3...4дБ можно легко получить без относительного расширения полосы частот, используя импульс приподнятого косинуса и МНФ с
и парциальным откликом. Хотя эти результаты получены для сигнальных импульсов приподнятого косинуса, похожие выигрыши можно достичь с другими огибающими импульсов при парциальном отклике. Подчеркнем, что этот выигрыш в ОСШ достигается введением памяти при модуляции сигнала и использованием памяти при демодуляции сигнала. Кодирование здесь не вносит избыточности. Фактически код здесь встраивается в модулятор, и декодирование решётчатого типа (Витерби) использует фазовые связи в сигнале МНФ.
Дополнительный выигрыш в качестве можно достичь введением дополнительной избыточности при кодировании и увеличением размера объема алфавита как средства, при котором сохраняется фиксированная полоса частот. В частности, МНФ с решётчатым кодированием, с использованием относительно простых свёрточных кодов, широко исследуется и много результатов имеется в технической литературе. Декодер Витерби для МНФ со свёрточным кодированием сегодня используют для учёта памяти, присущей и коду, и МНФ сигналу. Выигрыш качества порядка 4...6 дБ, обусловленный кодированием ММС с сохранением полосы частот, был продемонстрирован с комбинированием сверточного кодирования и МНФ. Обильные численные результаты для кодированной МНФ даны Линделлом (1985).
МНФ со многими индексами (multi-h). Изменением индекса модуляции от одного сигнального интервала к другому можно увеличить минимальное евклидово расстояние
между парами фазовых траекторий и таким образом улучшить выигрыш качества относительно МНФ с фиксированным индексом
. Обычно МНФ со многими индексами
использует фиксированное число
индексов модуляции, которые меняются циклически в соседних сигнальных интервалах. Таким образом, фаза сигнала меняется кусочно-линейно.
Существенный выигрыш в ОСШ достигается использованием только небольшого количества различных значений
. Например, для МНФ с полным откликом
и
можно получить выигрыш в 3 дБ относительно двоичной или четверичной ФМ. При увеличении
до
можно получить выигрыш в 4,5 дБ относительно ФМ. Выигрыш качества можно также увеличить с увеличением объема сигнального алфавита. Таблица 5.3.1 показывает выигрыш качества, достигаемый при
для различных значений
.
Таблица 5.3.1. Максимальные значения верхней границы
для линейной МНФ с переменным индексом

|

|

|
Выигрыш относительно ММС, дБ
|

|

|

|

|

|
2
|
1
|
2,43
|
0,85
|
0,715
|
|
|
|
0,715
|
2
|
2
|
4,0
|
3,0
|
0,5
|
0,5
|
|
|
0,5
|
2
|
3
|
4,88
|
3,87
|
0,620
|
0,686
|
0,714
|
|
0,673
|
2
|
4
|
5,69
|
4,54
|
0,73
|
0,55
|
0,73
|
|
0,64
|
4
|
1
|
4,23
|
3,25
|
0,914
|
|
|
|
0,914
|
4
|
2
|
6,54
|
5,15
|
0,772
|
0,772
|
|
|
0,772
|
4
|
3
|
7,65
|
5,83
|
0,795
|
0,795
|
0,795
|
|
0,795
|
8
|
1
|
6,14
|
4,87
|
0,964
|
|
|
|
0,964
|
8
|
2
|
7,50
|
5,74
|
0,883
|
0,883
|
|
|
0,883
|
8
|
3
|
8,40
|
6,23
|
0,879
|
0,879
|
0,879
|
|
0,879
|
На рис. 5.3.10 показана верхняя граница минимального евклидова расстояния для нескольких величин
и
. По оси абсцисс отложено среднее значение
. Отметим, что основной выигрыш в качестве получается, когда
увеличивается от
до
. Для
дополнительный выигрыш относительно мал для малых величин
. С другой стороны, существенный выигрыш качества достигается увеличением объема алфавита
.
Результаты, показанные выше, имеют место для МНФ с полным откликом. Наверняка существует польза от МНФ со многими индексами
при парциальном отклике в попытке дальнейшего улучшения качества. Можно предвидеть, что такие схемы обеспечат дополнительный выигрыш качества, но имеющиеся численные результаты для МНФ со многими индексами
и парциальным откликом ограничены. Интересующемуся читателю рекомендуется статья Аулина и Сандберга (1982).
Многоамплитудная МНФ. Многоамплитудная МНФ (МАМНФ) является по существу схемой комбинирования амплитудной и фазовой модуляции, которая позволяет увеличить сигнальный алфавит относительно МНФ до другой размерности и таким образом достичь большей скорости передачи данных в частотно-ограниченном канале. Одновременно комбинирование AM с МНФ приводит к эффективной по полосе частот технике модуляции. Мы уже наблюдали спектральные характеристики МАМНФ в разд. 4.3.
Характеристики качества МАМНФ были исследованы Маллиганом (1988) для некодированной и решётчато-кодированной МНФ. Особый интерес представляет результат, что решётчато-кодированная МНФ с двумя уровнями амплитуд даёт выигрыш в 3...4 дБ относительно ММС без существенного увеличения полосы частот сигнала.

Рис.5.3.10. Верхние границы для минимального среднеквадратического эвклидова расстояния при различных значениях
и 