6.1. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Начнем с разработки математической модели для сигнала на входе приемника. Предположим, что канал задерживает переданные сигналы и искажает их посредством аддитивного гауссовского шума. Следовательно, принимаемый сигнал молено выразить

где

(6.1.1)

- время задержки при распространении волны, a - эквивалентный низкочастотный сигнал. Принимаемый сигнал можно выразить и так:

(6.1.2)

где фаза несущей, обусловленная задержкой при распространении волны, равна , - низкочастотный эквивалент шума. В этой формулировке может показаться, что имеется только один сигнальный параметр, который следует оценить, именно задержка распространения , поскольку тогда при известных и можно определить . Однако это не так. Прежде всего, генератор, который генерирует несущую для демодуляции в приёмнике, в общем не синхронизирован с фазой передатчика. Более того, два генератора могут медленно дрейфовать со временем, возможно, в разные стороны. Следовательно, фаза принимаемой несущей не только зависит от времени задержки . Более того, точность, с которой необходима синхронизация во времени для целей демодуляции принимаемого сигнала, зависит от сигнального интервала . Обычно ошибка оценки должна составлять относительно малую часть интервала . Например, ошибка в от соответствует практическим применениям. Однако этот уровень точности обычно недостаточен для оценки фазы несущей, даже если зависит только от . Это объясняется тем, что несущая обычно велика, и, следовательно, малая ошибка в оценке вызовет большую ошибку в оценке фазы.

Фактически мы должны оценить оба параметра и для того, чтобы демодулировать, а затем, когерентно детектировать принимаемый сигнал. Следовательно, мы можем выразить принимаемый сигнал так:

(6.1.3)

где и представляют сигнальные параметры, которые должны быть оценены. Чтобы упростить обозначения, обозначим через векторный параметр , так что проще обозначать .

Имеются два базовых подхода, которые широко используются для оценки сигнальных параметров: подход с использованием правила максимального правдоподобия (МП) и по правилу максимума апостериорной вероятности (МАВ). В правиле МАВ сигнальный векторный параметр считается случайным и характеризуется априорной плотностью вероятности . По правилу максимального правдоподобия (МП) сигнальный векторный параметр трактуется как детерминированный, но неизвестный.

Формируя ортонормированное разложение по ортонормированным функциям , мы можем представить вектором коэффициентов . Совместную ФПВ случайных величин можно выразить как условную плотность вероятности . Тогда МП оценка - это величина, которая максимизирует . С другой стороны, оценка МАВ - это величина , которая максимизирует апостериорную функцию плотности вероятности

(6.1.4)

Заметим, что, если неизвестна априорная плотность параметра , мы можем предположить, что равномерно распределена (константа) во всей области значений параметра. В этом случае величина , которая максимизирует , также максимизирует . При этом оценки МАВ и МП совпадают.

В нашей трактовке оценок параметров, даваемой ниже, рассмотрим параметры и как неизвестные, но детерминированные. Следовательно, для оценки используем правило МП. При МП оценке сигнальных параметров мы требуем, чтобы приёмник извлекал оценку путем наблюдения принимаемого сигнала на интервале времени , который называется интервалом наблюдения. Оценки, полученные на одном сигнальном интервале наблюдения, иногда называют разовыми оценками. На практике, однако, оценка формируется непрерывно путем использования замкнутых следящих систем (аналоговых или цифровых), которые непрерывно улучшают оценки. Тем не менее разовые оценки лежат в основе построения следящих систем оценивания. Кроме того, они оказываются полезными при анализе качества МП оценки, и их качество можно связать с тем, которое получается при петлевом отслеживании.