§ 152. Жидкость под действием силы тяжести

Рассмотрим теперь равновесие жидкости с учетом действия силы тяжести. Повторяя рассуждения § 150, убедимся, что давление во всех точках горизонтальной плоскости одно и то же, но возрастает при переходе от одной горизонтальной плоскости к другой, лежащей ниже.

Действительно, если точки  и  (рис. 228) лежат в одной горизонтальной плоскости, то ось  мысленно выделенного тонкого цилиндра горизонтальна. Условие равновесия цилиндра вдоль оси будет, как и прежде, , поскольку проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю, так что вдоль горизонтальной оси действуют только силы .давления на основания цилиндра. Итак, , т. е. для всех точек одной и той же горизонтальной плоскости давления равны между собой; горизонтальные плоскости — это поверхности равного давления. Их иногда называют поверхностями уровня. Свободная поверхность жидкости есть одна из поверхностей уровня. Давление во всех ее точках одинаково. В открытом сосуде оно равно атмосферному давлению.

Рис. 228. Так как горизонтальный цилиндр  находится в равновесии, то давления в точках  и  равны

Рис. 229. Разность сил давления в точках  и  уравновешивает силу тяжести, действующую на цилиндр

Сказанное выше легко проверяется при помощи манометра: передвигая внутри жидкости манометр так, чтобы мембрана его все время оставалась в одной горизонтальной плоскости, т. е. на одной и той же поверхности уровня, мы увидим, что его показание не изменяется. При изменении же глубины погружения манометра (при переходе на другие поверхности, уровня) обнаруживается изменение давления: при погружении на большую глубину давление увеличивается. Например, в море давление растет от поверхности ко дну. Это объясняется тем, что на большей глубине вода оказывается сжатой силой давления на нее более толстого слоя вышележащей жидкости.

Для расчета изменения давления с глубиной найдем разность давлений в точках  и , лежащих на одной вертикали (рис. 229). Выделив мысленно тонкий вертикальный цилиндр с сечением , рассмотрим условия равновесия его вдоль вертикали. Силы давления, действующие на боковую поверхность, дают вдоль вертикали проекцию, равную нулю. Вдоль вертикали действуют три силы: сила давления на верхнее основание, равная  и направленная вниз, сила давления на нижнее основание, равная  и направленная вверх, и сила тяжести, действующая на жидкость в объеме цилиндра, направленная вниз. Если расстояние между точками  и  равно , то объем цилиндра равен  и его вес равен , где  — плотность жидкости,  — ускорение свободного падения. Условие равновесия цилиндра выразится равенством , откуда находим

.

Величина  равна весу столба жидкости высоты  с поперечным сечением, равным единице. Таким, образом, найденная формула говорит, что разность давлений в двух точках жидкости равна весу столба жидкости с площадью поперечного сечения, равной единице, и с высотой, равной разности глубин погружения точек.

Если давление на свободной поверхности жидкости равно нулю, то, рассматривая вертикальный цилиндр , верхнее основание которого лежит на поверхности, найдем тем же способом, что и выше, что давление  в точке, лежащей на глубине под поверхностью жидкости, определяется формулой

.                                                                                                            (152.1)

Если давление на свободной поверхности не равно нулю, то величина  даст разность давлений на глубине  и на свободной поверхности.

Давление, вызванное силой тяжести, действующей на жидкость, называют гидростатическим давлением. Таким образом, гидростатическое давление равно произведению плотности жидкости на ускорение свободного падения и на глубину погружения.

При выводе соотношений между давлениями в разных точках мы пользовались тем, что рассматриваемые точки можно соединить друг с другом цилиндром с горизонтальной осью или цилиндром с вертикальной осью, целиком лежащим в жидкости. Если этого сделать нельзя, как, например, в наклонном сосуде (рис. 230) или в  - образном сосуде (рис. 231), то для сравнения давлений в каких-либо двух точках достаточно соединить эти точки ломаной, которая целиком лежит в жидкости и звенья которой попеременно вертикальны и горизонтальны. Например, для сосуда с наклонными стенками можно взять ломаную , для  - образного сосуда — ломаную . Для каждого горизонтального звена давления на его концах будут равны; для каждого вертикального звена можно применить выведенную выше формулу.

Рис. 230. Давление в точке  определяется глубиной , отсчитанной по вертикали

Рис. 231. Давления в точках  и  равны

Таким образом, переходя от звена к звену, найдем, например, для сосуда с наклонными стенками:

,

Откуда

,

где  — глубина погружения данной точки. Эта формула справедлива также и в случаях, когда перпендикуляр, проведенный из данной точки к свободной поверхности, не лежит целиком в жидкости. Рассматривая  - образный сосуд, найдем для точек  и , лежащих в одной горизонтальной плоскости,

,

откуда

.

Мы видим, что поверхность уровня всегда есть горизонтальная плоскость, даже если отдельные участки этой плоскости разделены стенками сосуда. Таким образом, распределение давления по глубине совершенно не зависит от формы сосуда.

Рис. 232 Графики зависимости давления от глубины погружения: а) атмосферное давление равно нулю; б) атмосферное давление равно

Рис. 233. График давления одинаков для сосудов различной формы

Построим график распределения давления жидкости в сосуде по глубине. По вертикальной оси, направленной вниз, отложим глубину погружения , по горизонтальной оси — давление . Так как гидростатическое давление пропорционально глубине, то график изобразится прямой линией (рис. 232, а). Если на свободную поверхность жидкости оказывается давление, равное , то давление  на данной глубине увеличивается на  (рис. 232, б). В открытом сосуде давление  есть атмосферное давление.

Рис. 234. К упражнению 152.2

Так как давление жидкости не зависит от формы сосуда, то график зависимости давления от глубины всегда изображается прямой линией (рис. 233).

152.1. Давление атмосферы на свободную поверхность воды составляет  Па. На какой глубине давление удвоится? На какой глубине давление воды равно  Па?

152.2. Постройте график распределения давления в мензурке, заполненной различными жидкостями, как показано на рис. 234. Найдите давление на дно мензурки, если , а плотности .